Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.
Wemma a Funktion hod, de wej -mol stetig differenzierbar is, wobei a Intervall is, nachernd gült fia alle :
-
Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:
-
is as Restglied, des wej ma ausrechnan kann als:
-
Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:
-
Beweisskizze
Ma ko des Restglied aa no anderster ogem, wej im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wej ohne Integral auskimmt:
-
Do dabaa is a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kanns aa in da Cauchyschn Form ogem:
-
Kann hier bitte jemand das auf Deutsch übersetzen?
Mehrdimensionale Taylorpolynome
Wemma a Funktion hod, de wej n-mal stetig differenzierbar is, wobei ejtz offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ogem als:
-
Fia giz a recht einfache Schreibweis, nämlich
-
wobei Df d'Jakobimatrix vo f, d'Hessematrix vo f und as Standardskalarprodukt han.
Beispülla
oadimensional
Songma, , wüllma um an Punkt bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma ejtz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.
-
-
Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.
-
mehrdimensional
Ejtz songma ma wüll um an Punkt bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma ejtz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:
-
-
-
-
-
Des hoisst fürs Taylorpolynom:
-
Literatua
- Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
This article uses material from the Wikipedia Boarisch article Taylorpolynom, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Der Inhalt ist verfügbar unter CC BY-SA 4.0, sofern nicht anders angegeben. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Boarisch (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.