Matemática Adición

La adición tamién ilustra'l procesu de xuntar dos coleiciones d'oxetos col fin de llograr una sola coleición. Per otru llau, l'acción repetitiva de sumar unu ye la forma más básica de cuntar.

En términos más formales, la suma ye una operación aritmética definida sobro conxuntos de númberos (naturales, enteros, racionales, reales y complexos), y tamién sobro estructures acomuñaes a ellos, como espacios vectoriales con vectores que les sos componentes sían estos númberos o funciones que tengan la so imaxe nellos. Tamién se suman matrices.

Na álxebra moderna utilízase'l nome suma y el so símbolu "+" para representar la operación formal d'un aniellu que dota al aniellu d'estructura de grupu abeliano, o la operación d'un módulu que dota al módulu d'estructura de grupu abeliano. Tamién s'utiliza dacuando en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conxuntu d'estructura de grupu. Nestos casos #tratar d'una denominación puramente simbólica, ensin que necesariamente coincida esta operación cola suma habitual en númberos, funciones, vectores, etc.

L'home neolíticu yá faía matemática elemental, polo tanto sabía sumar; pero primeramente captó la idea de restar, yá que los sos medios de subsistencia menguaben mientres l'añu, y nun-y yera tan bono de reponer.

Los exipcios llegaron a sumar lo que se llamen güei, númberos naturales y los númberos fraccionarios. Los babilonios llegaron a sumar los cuadraos de los númberos naturales. Los chinos y los hindús sumaron númberos negativos. Na Renacencia, cola puxanza de la banca y del comerciu, impúnxose la suma de decimales, catapultada pol usu del sistema de numberación decimal. Amás popularizóse la adición de llogaritmos vulgares, que reemplazaba conducentemente a la multiplicación de númberos tantu nel comerciu, finances, astronomía, navegación, etc.

Cola formalización de los distintos tipos de númberu, #falar de suma de númberos reales (o espresiones decimales) y la suma de númberos complexos, que nun ye sinón la suma de pares ordenaos de númberos reales. Pero sí coles sos propies peculiaridaes, tanto al xeneralizar pa racionales y enteros. Amás #sumir con otros oxetos, entá na álxebra de Boole #falar de suma boleana.

== Propiedaes de la adición de númberos naturales

Propiedá de pesllera o cl${\displaystyle }$u${\displaystyle }$urativa: ${\displaystyle }$i a , b ∈ S {\display${\displaystyle }$tyle a,${\displaystyle }$\in S} e${\displaystyle }$tós a

${\displaystyle }$ b ${\displaystyle }$ S {\displaystyle a+b\in S} , siendo S {${\displaystyle }$}

${\displaystyle }$ualesquier d'estos conxuntos: N , Z ,

${\displaystyle }$ , R {${\displaystyle }$ {N} ,\mathbb {${\displaystyle }$} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} } o C {\displaystyle \mathbb {C} } .${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Propiedá conmutativa: L'arreglu de los sumandos nun #modificar la resultancia: a + b = ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ a {\displaystyle a+b=b+a} .${\displaystyle }$ Propiedá asociativa: Propiedá qu'establez que cuando se suma trés o más númberos, el resultáu siempres ye'l mesmu independientemente del so agrupamientu. Un exemplu ye: a + ( b ${\displaystyle }$ c ) = ( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ) ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} .${\displaystyle }$ Propiedá distributiva: La suma de dos númberos multiplicada por un tercer númberu ye igual a la suma del productu de cada sumandu multiplicáu pol tercer númberu. Por casu, ( 3 + 4 ) ⋅ 6 = ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

{\displaystyle (3+4)\cdot ${\displaystyle }$=3\cdot 6+4\cdot 6} .${\displaystyle }$ Propiedá cancelativa: Si a + c = b ${\displaystyle }$ c {${\displaystyle }$ a+c=${\displaystyle }$+c} entós a = b {\displaystyle a=b} y recíprocamente.${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Nun #funcionar con númberos naturales

Elementu neutru: L'elementu identidá #aditivo de los númberos ye'l cero, denotado por 0; porque tou númberu sumáu col 0 da'l mesmu númberu como total. Simbólicamente:

${\displaystyle }$ + 0 = ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ =

${\displaystyle }$ {${\displaystyle }$

${\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$=a} ; exemplu: 0 + 3 = ${\displaystyle }$

{\di${\displaystyle }$playstyle 0+3=3} Elementu opuestu: Si a ∈ S {${\displaystyle }$} esiste − a ${\displaystyle }$

S {${\displaystyle }$} tal que a + ( ${\displaystyle }$ a ) = 0 {\displaystyle a+(-a)=0} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Exemplu: 7 ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ) = ${\displaystyle }$

{\displaystyle 7+(-7)=0}${\displaystyle }$

Si tolos términos escríbense individualmente, utilízase'l símbolu "+" (lleíu más). Con esto, la suma de los númberos 1, 2 y 4 ye ${\displaystyle }$

+ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ = ${\displaystyle }$

{\displaystyle 1+2+4=7} .${\displaystyle }$

Tamién puede emplegase el símbolu "+" cuando, a pesar de nun escribise individualmente los términos, indíquense los númberos omitíos por aciu puntos suspensivos y ye senciellu reconocer los númberos omitíos. Por casu:

• ${\displaystyle }$ +

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ {${\displaystyle }$} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.${\displaystyle }$ 

• 2 +

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ 51${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ {${\displaystyle }$} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.${\displaystyle }$ 

En sumes llargues o infinites emplégase un nuevu símbolu, llamáu sumatorio, y represéntase cola lletra griega Sigma mayúscula (Σ). Por casu:

• ${\displaystyle }$ k =

${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$ {\displaystyle \sum _{k=1}^{100}k} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.${\displaystyle }$ 

• ${\displaystyle }$ k =

${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$ 2  ${\displaystyle }$ {\displaystyle \sum _{k=1}^{10}${\displaystyle }$^{k}} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.${\displaystyle }$ 

• ${\displaystyle }$ k = 1

${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$  ${\displaystyle }$ 2 {${\displaystyle }$ \sum _{${\displaystyle }$=${\displaystyle }$}^{\infty }{\frac {1}{k^{${\displaystyle }$}}}} ye la suma de tolos númberos racionales de la forma 1 k 2 {\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Como escurre que s'avera esta ye una suma infinita que nunca termina; esto ye, #sumir tolos elementos d'un conxuntu infinitu; sicasí, en realidá calcula la llende de la socesión que'l so enésimu términu ye la suma primeros n términos de la serie. 

Si tolos términos escríbense individualmente, utilízase'l símbolu "+" (lleíu más). Con esto, la suma de los númberos 1, 2 y 4 ye ${\displaystyle }$

+ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ = ${\displaystyle }$

{\displaystyle 1+2+4=7} .${\displaystyle }$

Tamién puede emplegase el símbolu "+" cuando, a pesar de nun escribise individualmente los términos, indíquense los númberos omitíos por aciu puntos suspensivos y ye senciellu reconocer los númberos omitíos. Por casu:

• ${\displaystyle }$ +

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ {${\displaystyle }$} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.${\displaystyle }$ 

• 2 +

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ 51${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ {${\displaystyle }$} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.${\displaystyle }$ 

En sumes llargues o infinites emplégase un nuevu símbolu, llamáu sumatorio, y represéntase cola lletra griega Sigma mayúscula (Σ). Por casu:

• ${\displaystyle }$ k =

${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$ {\displaystyle \sum _{k=1}^{100}k} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.${\displaystyle }$ 

• ${\displaystyle }$ k =

${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$ 2  ${\displaystyle }$ {\displaystyle \sum _{k=1}^{10}${\displaystyle }$^{k}} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.${\displaystyle }$ 

• ${\displaystyle }$ k = 1

${\displaystyle }$   ${\displaystyle }$  ${\displaystyle }$ 2 {${\displaystyle }$ \sum _{${\displaystyle }$=${\displaystyle }$}^{\infty }{\frac {1}{k^{${\displaystyle }$}}}} ye la suma de tolos númberos racionales de la forma 1 k 2 {\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Como escurre que s'avera esta ye una suma insocesión que'l so enésimu términu ye la suma primeros n términos de la serie.finita que nunca termina; esto ye, #sumir tolos elementos d'un conxuntu infinitu; sicasí, en realidá calcula la llende de tolos elementos que se suman y calcúlase ellimite matematico 

${\displaystyle }$

El procedimientu estándar para efectuar sumes de dellos númberos, llamaos "sumandos", ye'l siguiente:

Los sumandos #asitiar en files socesives ordenando les cifres en columnes, empezando pela derecha cola cifra de les unidaes (O), a la izquierda les decenes (D), la siguiente les centenes (C), la siguiente los millares (M), etc.

La suma de los númberos 750 + 1583 + 69 #ordenar de la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline \end{array}}{\begin{array}{l}\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\end{array}}}$ 

#Sumir en primer llugar les cifres de la columna de les unidaes según les tables elementales, asitiando na resultancia la cifra d'unidaes que resulte; cuando estes unidaes sían más de 10 les decenes atrópense como un sumandu más na fila d'acarretu. Nesti casu 3 más 9 son 12, el 2 del 12 #poner na parte inferior y el 1 pásase como acarretu na columna siguiente.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&&&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &&&&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\\\end{array}}}$ 

Na columna de les decenes, procediendo entós a la suma d'esa columna como si fueren unidaes. Sumemos el 1 del acarretu más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 #poner na parte inferior como resultancia y el 2 pásase como acarretu a la columna siguiente.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&&2&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &&&0&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\\\end{array}}}$ 

#Venir# de igual forma cola columna de les decenes, acarretu incluyíu, asitiando na fila d'acarretu sobro la columna de les centenes les decenes (d'unidaes de decenes). Na columna de les centenes tenemos, el 2 d'acarretu, el 7 y el 5 que sumaos dan 14, el 4 del 14 #poner na parte inferior y el 1 #pasar a la siguiente columna como acarretu.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&1&2&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &&4&0&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\\\end{array}}}$ 

#Venir# de igual forma con toles columnes, añadiendo a la columna última de la izquierda les decenes de la columna anterior en cuenta de xubir a la fila d'acarretu. Na columna de los millares tenemos 1 d'acarretu más el 1 de sumando que sumaos dan 2, que se pon na parte inferior como resultancia, al nun haber más sumandos damos per rematada la operación.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&1&2&1&\\&M&C&D&U\\&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &2&4&0&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\textrm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow 1^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 2^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow 3^{\circ }\;{\textrm {sumando}}\\\longleftarrow {\textrm {total}}\\\end{array}}}$ 

De normal los acarretos o llevaes nun s'anoten nel papel, sumando direutamente l'acarretu a los sumandos de la columna siguiente y l'aspeutu de la realización de la suma ensin les anotaciones auxiliares sería'l siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&&7&5&0\\&1&5&8&3\\+&&&6&9\\\hline &2&4&0&2\\\end{array}}}$ 

Colos naturales

Según l'axomática de Peano la adición nel conxuntu de los n númberos naturales #definir por estes dos condiciones:

1. ${\displaystyle }$
2. p + S ( q ) =

${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ) {\di${\displaystyle }$${\displaystyle }$lay${\displaystyle }$tyle ${\displaystyle }$+S(${\displaystyle }$)=S(p+${\displaystyle }$)} , onde p {${\displaystyle }$} y q {${\displaystyle }$} so${\displaystyle }$ númberos naturales; S {${\displaystyle }$} ye la función socesor que'l so dominiu ye N {\displaystyle \mathbb {N} } .${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ 

Colos enteros

• Si los sumandos tienen el mesmu signu #sumir los valores absolutos y al resultáu asígnase-y el signu común.
• Si los dos sumandos tienen distintu signu #restar del mayor absolutu'l menor valor absolutu. A la diferencia asígnase-y el signu del númberu de mayor valor absolutu.
• Si se trat${\displaystyle }$ de m = ( a , b ) {\${\displaystyle }$isplaystyle ${\displaystyle }$=(a,${\displaystyle }$)} y n = ( c , d ) {${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$=(${\displaystyle }$,d)} la suma ye m + n = ( a ${\displaystyle }$ c , b

${\displaystyle }$ d ) {\displaystyle m+n=(a+c,b+d)}${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$  

Colos númberos racionales

• Cuando tienen el mesmu denominador, solamente #sumir los numberadores, según la regla de la adición de númberos enteros y el denominador ye'l mesmu.
• Si tien distintu denominador, tolos númberos racionales amenórguense racionales col mesmu denominador; depués aplícase'l criteriu inmediatu anterior.

• Sumatorio
• Suma vectorial
• Acarretu
• Función aditiva
• Principiu de la suma
• Multiplicación
• División (matemátiques)
• Resta

Notes

Referencies