مفرد عدد

عدد 1 نہ اولی ہے نہ مرکب۔

حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی

تفصیلی مضمون: حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی

فرض کرو ${\displaystyle n>1}$۔ اب عدد n کو اولی اعداد پر مشتمل جزوِ ضربی کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ اور یہ جُزوِ ضربی منفرد ہوں گے، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال:
${\displaystyle \ 299376=2^{4}\times 3^{5}\times 7\times 11}$
جہاں 2, 3, 7, 11, اولی اعداد ہیں۔ ان اولی اعداد کے علاوہ کوئی دوسرا اولی اعداد کا مجموعہ نہیں، جو 299376 کے جزو ضربی بن سکیں، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے، مثلاً
${\displaystyle \ 299376=7\times 3\times 2\times 2\times 3\times 3\times 2\times 3\times 11\times 3\times 2}$

مسلئہ اثباتی

اولی اعداد کی تعداد لامحدود ہے۔
ثبوت:
ثبوت نفی طریقہ سے دیتے ہیں۔ فرض کرو کہ اولی اعداد کا مجموعہ محدود ہے۔ تو اس مجموعہ کو یوں لکھ لیتے ہیں: ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\cdots ,p_{k}\}}$ اب اس عدد کو دیکھو: ${\displaystyle Q=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}+1}$ اب یا توQ اولی ہے یا پھر اس کے اولی جزو ضربی موجود ہیں۔ اگر اولی ہے تو مفروضے کی نفی ہو گئی۔ دوسری صورت میں دیکھو کہ اوپر دیے اولی اعداد میں سے کوئی بھی Q کو تقسیم نہیں کرتا جو بنیادی نظریہ کے خلاف ہے۔ اس لیے یہ صورت بھی مفروضے کی نفی کرتی ہے۔ پس ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ یہ مفروضہ کہ "اولی اعداد کی تعداد محدود ہے" ہی غلط تھا۔

مسلئہ اثباتی

اگر صحیح عدد ${\displaystyle n>1}$ کے کوئی جزوِ ضربی ایسے نہیں جو ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ سے چھوٹے ہوں (${\displaystyle \leq {\sqrt {n}}}$)، تو عدد n اولی ہے۔

اولی عدد کی چھاننی

اولی اعداد ڈھونڈنے کے لیے چھاننی کا طریقہ مفید ہے۔ فرض کرو کہ ہمیں 300 سے کم اعداد میں سے اولی عدد تلاش کرنے ہیں، تو 300 تک کے اعداد لکھ لو
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ........
اب 2 سے شروع کرتے ہیں۔ اس کے نیچے لکیر لگا دو۔ اب 2 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس کے بعد 3 کے نیچے لکیر لگاؤ۔ اب 3 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس ظرح نہ کٹے اعداد کے نیچے لکیر لگا کر اس کے ضربیات کاٹنے (چھاننے) کا عمل جاری رکھو۔ کسی نھی وقت سب سے چھوٹا عدد جس کے نیچے لکیر نہیں لگی یا کٹا ہوا نہیں، تو یہ عدد اولی ہے۔ چونکہ ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {300}}\rfloor =17}$، اس لیے ہمیں 17 تک کے اعداد کے نیچے لکیر لگانے کا عمل جاری رکھنا ہے۔

اولی عدد کی پہچان

اولی کی یہ ایک کسوٹی ہے: اگر عدد pاولی ہے تو لازم ہے کہ وہ اس امتحان میں پورا اترے
p-1 کو 2 کی طاقت علاحدہ کر کے لکھو ${\displaystyle p-1=2^{\zeta }\times \eta }$
تو p کے اولی ہونے کے لیے لازم ہے کہ نیچے دی دو مساوات میں سے ایک کی تسکین ہو:
${\displaystyle \beta ^{\eta }\equiv \pm 1\mod p}$

یا ${\displaystyle \beta ^{2^{j}\eta }\equiv -1\mod p\,,\,j=1,2,\cdots ,\zeta -1}$
ہر نیچے دیے ${\displaystyle \beta }$ کے لیے
${\displaystyle \beta =2,3,\cdots ,p-2}$

مثال: عدد 511 اولی نہیں کیونکہ 7 سے تقسیم ہوتا ہے۔ مگر ${\displaystyle \beta =81}$ کے لیے کسوٹی پر پورا اترتا ہے ${\displaystyle {\begin{matrix}p-1=510=2^{1}\times 255\\\beta =81\\\beta ^{\eta }=81^{255}\equiv 1\mod 511\end{matrix}}}$
جس سے پتہ چلتا ہے کہ تمام ${\displaystyle \beta }$ کے لیے تسلی کرنی چاہیے۔

عملی طور پر یہ کسوٹی اولی عدد ڈھونڈنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ بہت بڑے اعداد کی تجزی کرنا ممکن نہیں ہوتا۔ کچھ عملیات میں یہ کرتے ہیں کہ کسی عدد کے بمطابق بہت سے تصادفی ${\displaystyle \beta }$ لے کر (مگر سارے نہیں) تجربہ کیا جاتا ہے، اگر کسوٹی پر کوئی عدد پورا اترے تو اسے اولی تصور کر لیا جاتا ہے۔

توزیع اولی اعداد

اگر x سے کم اولی اعداد کی تعداد کو ${\displaystyle \pi (x)}$ لکھا جائے تو
${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}\to 1\,\,as\,\,x\to \infty }$