Prvočíslo: Prirodzené číslo, ktoré je väčšie ako 1 a ktorého jedinými deliteľmi sú 1 a ono samo
Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je väčšie ako 1 a jediný deliteľ ktorého je číslo 1 a ono samo.
Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla sa s výnimkou čísla 1 nazývajú zložené čísla.
Čísla 0 a 1 sa nepovažujú ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo, ktoré je väčšie ako 1, je buď prvočíslo alebo zložené číslo. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá teória čísel.
Ak p je prvočíslo a p delí súčin čísel a a b, potom p delí a alebo p delí b.
Ak p je prvočíslo a a je ľubovoľné celé číslo, potom je ap − a deliteľné p. (Malá Fermatova veta).
Ak n je kladné celé číslo, existuje prvočíslo p také, že platí n < p ≤ 2n. (Bertrandov postulát)
Pre každé prvočíslo p > 2 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 4n ± 1.
Pre každé prvočíslo p > 3 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 6n ± 1.
Ak p je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/p má v desiatkovej číselnej sústave nekonečný desatinný rozvoj.
Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné delitele sa nazýva faktorizácia. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3.
Ak p je prvočíslo a G je grupa s pn prvkami, potom G obsahuje prvok rádu p.
Ak G je konečná grupa a pn je najvyššia mocnina prvočísla p, ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G podgrupu rádu pn.
Okruh Z/nZ je teleso, práve vtedy, keď n je prvočíslo. Inak povedané: n je prvočíslo, práve vtedy keď φ(n) = n − 1.
Prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz sporom: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich p1, p2, …, pn. Potom číslo x = p1 · p2 ··· pn + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení ľubovoľným z nich dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo x je buď prvočíslo, alebo je deliteľné nejakým iným prvočíslom, ktoré nebolo medzi p1...pn. To znamená, že množina prvočísel p1...pn nebola úplná, čo je spor s predpokladom.
Množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovoľnej dĺžky. Toto tvrdenie predstavovalo mnoho rokov odolávajúcu hypotézu. V roku 2004 ju pozitívne zodpovedali Ben Green a Terence Tao.
Mersennove prvočísla
Istou skupinou prvočísel sú takzvané Mersennove prvočísla. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2p-1, kde p je tiež prvočíslo. Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3=22-1 alebo 7=23-1. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených pomerne málo, presne 51. Zatiaľ posledné bolo objavené 21. decembra2018 a skladá sa z 24 862 048 číslic. Toto číslo je zároveň najvyšším známym prvočíslom. Je výsledkom 282 589 933-1.
www.perhac.com – Prvočísla do 100 miliónov (slovenská stránka)
This article uses material from the Wikipedia Slovenčina article Prvočíslo, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Obsah je dostupný pod licenciou CC BY-SA 4.0, pokiaľ nie je uvedené inak. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Slovenčina (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.