Número Primo

Um número natural maior que 1 que não é primo é chamado de número composto. Por exemplo, 5 é primo porque as únicas maneiras de escrevê-lo como um produto, 1 × 5 ou 5 × 1, envolvem o próprio 5. No entanto, 4 é composto porque é um produto (2 × 2) no qual ambos os números são menores que 4. Os primos são centrais na teoria dos números por causa do teorema fundamental da aritmética: todo número natural maior que 1 é ou um primo em si mesmo ou pode ser fatorado como um produto de primos de maneira única, salvo pela ordem dos fatores.

A propriedade de ser primo é chamada primalidade. Um método simples, mas lento, de verificar a primalidade de um número dado n, chamado de divisão tentativa, testa se n é um múltiplo de qualquer inteiro entre 2 e ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Algoritmos mais rápidos incluem o teste de primalidade de Miller-Rabin, que é rápido, mas tem uma pequena chance de erro, e o teste de primalidade AKS, que sempre produz a resposta correta em tempo polinomial, mas é muito lento para ser prático. Métodos particularmente rápidos estão disponíveis para números de formas especiais, como números de Mersenne. Em dezembro de 2018, o maior número primo conhecido é um número primo de Mersenne com 24 862 048 algarismos.

Há infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C. Não existe uma fórmula simples conhecida que distinga números primos de números compostos. No entanto, a distribuição de números primos dentro dos números naturais em geral pode ser modelada estatisticamente. O primeiro resultado nessa direção é o teorema dos números primos, provado no final do século XIX, que afirma que a probabilidade de um número grande escolhido aleatoriamente ser primo é inversamente proporcional ao número de seus dígitos, ou seja, ao seu logaritmo.

Várias questões históricas relacionadas a números primos ainda estão sem solução. Estas incluem a conjectura de Goldbach, que afirma que todo número inteiro par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos, e a conjectura dos números primos gêmeos, que diz que existem infinitos pares de números primos que diferem por dois. Tais questões estimularam o desenvolvimento de várias áreas da teoria dos números, concentrando-se em aspectos analíticos ou algébricos dos números. Números primos são utilizados em diversos procedimentos na tecnologia da informação, como na criptografia de chave pública, que depende da dificuldade de decompor números grandes em seus fatores primos. Na álgebra abstrata, objetos que se comportam de maneira generalizada como números primos incluem elementos primos e ideais primos.

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o ${\displaystyle 1,}$  pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados "blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de ${\displaystyle 1}$  a ${\displaystyle 100.}$  Em seguida escolhia o primeiro primo, ${\displaystyle 2,}$  e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes. Observe a ilustração a seguir:

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  Crivo de Eratóstenes

Assim obtemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... A partir desse procedimento podemos simplificar a descobertas de primos usando o lema: Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum primo p tal que ${\displaystyle p^{2}}$  ≤ n, então ele é primo. (demonstrado adiante). Este lema fornece um teste de primalidade, pois, para verificar se um dado número n é primo, basta verificar que não é divisível por nenhum p que não supere ${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$ 

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número ${\displaystyle N}$  era primo: calcule ${\displaystyle 2}$  elevado a potência ${\displaystyle N}$  e divida-o por ${\displaystyle N,}$  se o resto for ${\displaystyle 2,}$  então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular ${\displaystyle 2^{N}}$  em um relógio com ${\displaystyle N}$  horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até ${\displaystyle 340,}$  mas falha para ${\displaystyle 341=11\times 31.}$  Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como ${\displaystyle 2^{341}.}$ 

Teoria dos números

 Ver artigo principal: Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões: O conjunto dos números primos seria finito ou infinito? Dado um número natural ${\displaystyle n,}$  qual é a proporção de números primos entre os números menores que ${\displaystyle n}$ ?

• A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

Supondo que o número de primos seja finito e sejam ${\displaystyle p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ ...,\ p_{n}}$  os primos. Seja ${\displaystyle P}$  o número tal que

$${\displaystyle P}$$

 

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}+1,}$ 

${\displaystyle \prod }$ 

Se ${\displaystyle P}$  é um número primo, é necessariamente diferente dos primos ${\displaystyle p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ ...,\ p_{n},}$  pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

Por outro lado, se ${\displaystyle P}$  é composto, existe um número primo ${\displaystyle q}$  tal que ${\displaystyle q}$  é divisor de ${\displaystyle P.}$ 
Mas obviamente ${\displaystyle q\neq \ p_{1},\;p_{2},\;...,\;p_{n}.}$  Logo existe um novo número primo.

Há um novo número primo, seja ${\displaystyle P}$  primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

Uma outra prova envolve considerar um número inteiro ${\displaystyle n>1.}$  Temos ${\displaystyle n+1}$  que, necessariamente, é coprimo de ${\displaystyle n}$  (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que ${\displaystyle 1}$ ). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado ${\displaystyle 0}$  e resto ${\displaystyle n}$  e do maior pelo menor tem resultado ${\displaystyle 1}$  e resto ${\displaystyle 1.}$  Assim, ${\displaystyle n(n+1)}$  tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

Tomemos o sucessor deste, que representamos como ${\displaystyle n(n+1)+1.}$  Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a ${\displaystyle n(n+1).}$  Ao multiplicar os dois números, temos ${\displaystyle [n(n+1)]*[n(n+1)+1].}$  Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

• A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente ${\displaystyle {\frac {n}{\ln(n)}},}$  onde ${\displaystyle \ln }$  é o logaritmo natural.
• Para qualquer número inteiro ${\displaystyle k,}$  existem ${\displaystyle k}$  números inteiros consecutivos todos compostos.
• O produto de qualquer sequência de ${\displaystyle k}$  números inteiros consecutivos é divisível por ${\displaystyle k!}$ 
• Se ${\displaystyle k}$  não é primo, então ${\displaystyle k}$  possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a ${\displaystyle {\sqrt {k}}.}$ 
• Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma ${\displaystyle 4n+1,}$  tal como ${\displaystyle 5,13,17,29,37,41,}$  etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

$${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},}$$

 

$${\displaystyle 13=2^{2}+3^{2},}$$

 

$${\displaystyle 17=1^{2}+4^{2},}$$

 

$${\displaystyle 29=2^{2}+5^{2},}$$

 

$${\displaystyle 37=1^{2}+6^{2},}$$

 

$${\displaystyle 41=4^{2}+5^{2}.}$$

 

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

• ${\displaystyle (4n+1)}$  - que podem sempre ser escritos na forma (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ); e
• ${\displaystyle (4n-1)}$  - nunca podem ser escritos na forma (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:

${\displaystyle 31}$ , ${\displaystyle 331,3.331,33.331,333.331,3.333.331}$  e ${\displaystyle 33.333.331}$  são primos mas ${\displaystyle 333.333.331}$  não é, pois ${\displaystyle 333.333.331=17x19.607.843.}$ 

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número ${\displaystyle 370.261}$  é seguido de cento e onze números compostos e não existem primos entre os números ${\displaystyle 20.831.323}$  e ${\displaystyle 20.831.533.}$ 

Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo ${\displaystyle x^{2}-x+41}$  fornece primos quando ${\displaystyle x=0,\ 1,\ 2,\ ...,\ 40.}$  Veja que para x = 41, a fórmula resulta em ${\displaystyle 41^{2}}$  que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de ${\displaystyle x,}$  de fato em 1752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em ${\displaystyle x}$  com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de ${\displaystyle x.}$ 

Não se sabe se há uma expressão polinomial ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$  com ${\displaystyle a\neq 0}$  que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se ${\displaystyle a,}$  ${\displaystyle 2b}$  e ${\displaystyle c}$  não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

$${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$$

 

${\displaystyle x}$ 

${\displaystyle y}$ 

Fermat pensou que a fórmula ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$  forneceria números primos para ${\displaystyle n=0,\ 1,\ 2,\ ....}$  Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por ${\displaystyle F_{n}.}$  Os cinco primeiros números são:

$${\displaystyle F_{0}=3,\;F_{1}=5,\;F_{2}=17,\;F_{3}=257\;e\;F_{4}=65.537,}$$

 

Como consequência do teorema do número primo, uma expressão assintótica para o n-ésimo primo ${\displaystyle p_{n}}$  é:

$${\displaystyle p_{n}\sim n\ln n.}$$

 

Uma aproximação melhor é:

$${\displaystyle {p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n-n+{\frac {n}{\ln n}}\left(\ln \ln n-2\right)-{\frac {n\ln \ln n}{2(\ln n)^{2}}}\left(\ln \ln n-6\right)+O\left({\frac {n}{(\ln n)^{2}}}\right).}}$$

 

O teorema de Rosser mostra que ${\displaystyle p_{n}}$  é maior que ${\displaystyle n\ln n.}$  É possível melhorar esta aproximação com os limites: ${\displaystyle n\ln n+n(\ln \ln n-1)$ , para ${\displaystyle n\geq 6.}$ 

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado até então. Tem 17.425.170 dígitos e, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com cinco mil caracteres cada. É o número ${\displaystyle 2^{57885161}-1}$ . Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene.

Em janeiro de 2016, um grupo de matemáticos da mesma universidade descobriu um número primo com 22.338.618 dígitos, que recebeu o nome "M74207281". É o número ${\displaystyle 2^{74207281}-1,}$  que tem 5 milhões de dígitos a mais que o último conhecido. O achado foi divulgado pelo programa GIMPS.

Em dezembro de 2017 um engenheiro eletrotécnico da empresa de entregas FedEx descobriu um número primo ainda maior: “M77232917”, como foi batizado, tem mais de 23 milhões de dígitos. O homem que o descobriu chama-se Jonathan Pace, tem 51 anos, é norte-americano e também participa do GIMPS. Em dezembro de 2018 uma nova marca de maior número primo foi registrada, alcançando a quantidade de 24 milhões de dígitos.

Biologia

• A estratégia evolutiva usada por cigarras do gênero "Magicicada" faz uso de números primos. Evolutivamente, à medida que algumas espécies foram alongando seus períodos de "hibernação", também os de seus predadores naturais foram se alongando. Foram favorecidas aquelas que só emergiam após número primo de anos (13, 17), pois isso reduz ao máximo as chances de encontrar seus predadores naturais. Um exemplo para entender isso é: Imagine uma espécie de cigarra que vire ninfa a cada 2 anos, e uma outra a cada 4. Um predador natural de cigarras que fique hibernando 4 anos, quando sair de sua hibernação, terá como fonte de alimentação ambas espécies, aumentando a quantidade de comida disponível. Já com as cigarras que ficam hibernando um número primo de anos, seus predadores naturais terão que hibernar esse período de temp também, e terão menos opções de comida.

• Há uma espécie de bambu, "Phyllostachys bambusoides", que tem sua florada a cada 23 anos. Cientistas acreditam que esse "número primo de tempo" para cada floração é um diferencial evolutivo dessa espécie frente as demais.

Mecânica quântica

Começando com o trabalho de Hugh Montgomery e Freeman Dyson na década de 1970, matemáticos e físicos especularam que os zeros da função zeta Riemann estão conectados aos níveis de energia dos sistemas quânticos. Os números primos também são significativos na ciência da informação quântica, graças a estruturas matemáticas como bases mutuamente imparciales e medidas de valor positivo de operadores positivos.