Pirmskaitlis

Naturālus skaitļus, kas lielāki par 1, bet nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. Tā, piemēram, 5 ir pirmskaitlis, jo 5 dalās tikai ar 1 un 5. Savukārt 6 ir salikts skaitlis, jo 6 dalās ne tikai ar 1 un 6, bet arī ar 2 un 3. Pirmie 10 pirmskaitļi ir šādi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Pirmskaitļiem ir liela nozīme skaitļu teorijā, kriptogrāfijā un citur.

Nav grūti pierādīt, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz. Pirmais to pierādīja Eiklīds ap 300. g. p.m.ē. Vēlāk to pierādīja arī citi matemātiķi, izmantojot dažādas metodes.

Vienkāršs algoritms pirmskaitļu atrašanai ir Eratostena siets.

Parasti ${\displaystyle n}$-to pirmskaitli apzīmē ar ${\displaystyle p_{n}}$. Tādējādi ${\displaystyle p_{1}=2}$, ${\displaystyle p_{2}=3}$, ${\displaystyle p_{3}=5}$ utt.

Daudzi senie grieķi neuzskatīja 1 par skaitli, tāpēc neuzskatīja to arī par pirmskaitli. Savukārt 19. gs. daudzi matemātiķi uzskatīja skaitli 1 par pirmskaitli. Piemēram, D. N. Lēmera publicētais pirmskaitļu saraksts sākās ar 1 kā ar pirmo pirmskaitli. A. Lebegs tiek saukts par pēdējo profesionālo matemātiķi, kurš 1 uzskata par pirmskaitli. Kaut gan liela daļa no matemātiskiem darbiem ir derīgi, ja 1 uzskata par pirmskaitli, aritmētikas pamatteorēma neizpildās kā ir formulēta. Piemēram, skaitli 15 var sadalīt pirmreizinātājos kā 3 · 5 vai 1 · 3 · 5. Ja 1 uzskata par pirmskaitli, tad šie divi sadalījumi būtu jāuzskata par dažādiem skaitļa 15 sadalījumiem pirmreizinātājos, tāpēc šīs teorēmas formulējums būtu jāmaina.

• Vienīgais pāra pirmskaitlis ir 2, visi pārējie pirmskaitļi ir nepāra.
• Visi pirmskaitļi, kas lielāki par 3 ir izsakāmi formā ${\displaystyle 6k+1}$  vai ${\displaystyle 6k-1}$ .
• Ja ${\displaystyle p}$  ir pirmskaitlis un ${\displaystyle p>3}$ , tad ${\displaystyle p^{2}-1}$  dalās ar 24.
• Ja ${\displaystyle p}$  ir pirmskaitlis un ${\displaystyle ab}$  dalās ar ${\displaystyle p}$ , tad vai nu ${\displaystyle a}$  vai ${\displaystyle b}$  dalās ar ${\displaystyle p}$ .
• Ja ${\displaystyle p}$  ir pirmskaitlis un ${\displaystyle a^{k}}$  dalās ar ${\displaystyle p}$ , tad ${\displaystyle a}$  dalās ar ${\displaystyle p}$ .

• Katrs naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, dalās ar vismaz vienu pirmskaitli.
• Ja ${\displaystyle n}$  ir naturāls skaitlis un ${\displaystyle n>1}$ , tad starp ${\displaystyle n}$  un ${\displaystyle 2n}$  atrodas vismaz viens pirmskaitlis (Bertrāna postulāts). Šo faktu pirmais pierādīja krievu matemātiķis P. Čebiševs.
• Starpība starp diviem blakusesošiem pirmskaitļiem var būt pēc patikas liela. Piemēram, 3 un 5 ir blakus esoši pirmskaitļi, kuru starpība ir 2. 7 un 11 ir blakusesoši pirmskaitļi, kuru starpība ir 4, utt.
• Visiem naturāliem ${\displaystyle n}$  ${\displaystyle p_{n}\geq 2n-1}$ .
• Ja ${\displaystyle p_{n}}$  ir ${\displaystyle n}$ -tais pirmskaitlis, tad ${\displaystyle \textstyle p_{n}\sim n\ln n}$ .
• Visiem naturāliem ${\displaystyle n}$  ${\displaystyle p_{n}>n\cdot \ln n}$  (Rosera teorēma).

Pamatraksts: savstarpēji pirmskaitļi

Divus skaitļus sauc par savstarpējiem pirmskaitļiem, ja tiem nav neviena kopīga dalītāja, izņemot skaitli 1. Piemēram, skaitļiem 6 un 11 kopīgais dalītājs ir tikai skaitlis 1, tāpēc skaitļi 6 un 11 ir savstarpēji pirmskaitļi. Saprotams, ka jebkuri divi dažādi pirmskaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi.

Bieži skaitļu teorijā, kriptogrāfijā un citur lieto funkciju, kas izsaka tādu pirmskaitļu skaitu, kas nepārsniedz kādu skaitli ${\displaystyle x}$ . To apzīmē ar ${\displaystyle \pi (x)\,}$ . Piemēram, ${\displaystyle \pi (10)=4\,}$ , jo ir tieši četri pirmskaitļi, kas nepārsniedz 10: 2, 3, 5 un 7. Svarīgs skaitļu teorijas rezultāts ir šīs funkcijas asimptotiskais novērtējums ${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln n}}}$ .

Viens nevienādība ir

${\displaystyle \forall x\geq 55,\quad {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}}$ 

Daudzi matemātiķi ir pētījuši pirmskaitļu apgriezto lielumu summu. Leonards Eilers, Pāls Erdēšs un citi ir pierādījuši, ka šī summa tiecas uz bezgalību:

${\displaystyle \sum _{p{\text{ ir pirmskaitlis}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+...=\infty }$ .

Tā kā, piemēram, naturālo skaitļu kvadrātu apgriezto lielumu summa netiecas uz bezgalību, tad tas nozīmē, ka pirmskaitļi ir sastopami biežāk nekā pilnie kvadrāti.

Skaitļu teorijā un citur ir nozīme dažādiem speciāla veida pirmskaitļiem. Vieni no tiem ir Mersenna pirmskaitļi. Tie ir pirmskaitļi, kurus var izteikt formā ${\displaystyle p=2^{n}-1}$ , kur n ir naturāls skaitlis. Tādi ir pirmskaitļi 3, 7, 31, 127 utt.

Nav zināmas efektīvas formulas pirmskaitļu izrēķināšanai. Tomēr ir iegūti atsevišķi rezultāti. Piemēram, Mīlsa teorēma apgalvo ka eksistē reāla konstante A>1 tāda, ka

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$ 

ir pirmskaitlis katram naturālam n. Šeit ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  ir noapaļošana uz leju.

Ar pirmskaitļiem ir saistītas daudzas neatrisinātas matemātikas problēmas. Piemēram:

• Rīmaņa hipotēze.
• Dvīņu pirmskaitļu problēma: jānoskaidro, vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu, kuru starpība ir 2.
• Mersena pirmskaitļu problēma: jānoskaidro, vai ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kuri izsakāmi formā ${\displaystyle p=2^{n}-1}$ .
• Jānoskaidro, vai Fermā pirmskaitļu skaits ir galīgs vai bezgalīgs.
• Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas izsakāmi formā ${\displaystyle p=n^{2}+1}$ , kur ${\displaystyle n}$  ir naturāls skaitlis?
• Jānoskaidro, vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu ${\displaystyle p}$ , ka ${\displaystyle 2p+1}$  arī ir pirmskaitlis.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

• Dalītājs
• Eratostena siets
• Pirmreizinātājs
• Vilsona teorēma
• Savstarpēji pirmskaitļi

•   Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Pirmskaitlis.

• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)
• Brockhaus Enzyklopädie raksts (vāciski)
• Krievijas Lielās enciklopēdijas raksts (krieviski)