Número Primo

Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.

O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados "factores primos"). Ao proceso que recibe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase descomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales estaban Anton Felkel e Jurij Bartolomej Vega, extensas táboas abranguendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns.

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

• 4 = 2 ⋅ 2
• 6 = 2 ⋅ 3
• 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
• 9 = 3 ⋅ 3
• 10 = 2 ⋅ 5

Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:

1. O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
2. Dado un número natural ${\displaystyle n}$ , cal é a proporción de números primos entre os números menores que ${\displaystyle n}$ ?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostralo da seguinte forma:

Supoña, por absurdo, que o número de primos sexa finito e sexan ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}}$  os primos. Sexa ${\displaystyle P}$  o número tal que

${\displaystyle P}$  = ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}+1}$  onde ${\displaystyle \prod }$  denota o produto.

Temos que ${\displaystyle P}$  non é primo (por hipótese), logo existe un número primo ${\displaystyle q}$  tal que ${\displaystyle q\mid \ P}$ . Mais obviamente ${\displaystyle q\neq \ p_{1},p_{2},...p_{n}}$ . Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a ${\displaystyle n:\ln(n)}$  canto maior sexa n, onde ${\displaystyle \ln }$  é o logaritmo natural.

Coñécense dous grupos de números primos, dos tipos:

(4n+1) - pódense sempre escribir como (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ )

e

(4n-1) - nunca se poden escribir como (${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ )

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Por exemplo, 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 e 33 333 331 son primos, mais 333 333 331 non é (333 333 331 = 17 ⋅ 19 607 843).

Outros artigos

• Lista de números primos
• Emirp

Ligazóns externas

• As páxinas de primos -- http://www.utm.edu/research/primes/ Arquivado 01 de agosto de 2003 en Wayback Machine.
• Lista dos maiores números probabelmente primos
• The prime puzzles
• Primes de WIMS é un xerador online de números primos.
• 12 digit primes Factores primos coñecidos de 12-díxitos de Googolplex