Logaritmies Gemiddelde Temperatuurverskil

Die LGTV is 'n logaritmiese gemiddelde van die temperatuurverskil tussen die warm en koue strome aan elke punt van 'n hitteruiler. Hoe groter die LGTV, hoe meer warmte word uitgeruil.

 

Ons aanvaar dat 'n generiese hitteruiler twee kante het (wat ons hier "A" en "B" sal noem) waar die warm en koue strome invloei of uitvloei; die LGTV word dan gedefinieer deur die logaritmiese gemiddelde as volg:

${\displaystyle \Delta T_{lg}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}}$ 

${\displaystyle \Delta T_{g}=F_{t}\Delta T_{lg}}$ 

${\displaystyle \Delta T_{A}}$  en ${\displaystyle \Delta T_{B}}$  is die benaderingstemperatuur aan die twee kante van die hitteruiler.

${\displaystyle \Delta T_{A}=T_{w,uit}-T_{k,in}}$ 

${\displaystyle \Delta T_{B}=T_{w,in}-T_{k,uit}}$ 

Hierdie vergelyking is geldig vir beide parallelle vloei waar die strome van dieselfde kant invloei en vir teenstroom vloei waar die strome van verskillende kante af invloei. 'n Derde tipe vloei is kruisvloei waar een van die strome dieselfde nominale temperatuur het op alle punte van die oordragoppervlak. Die wiskunde is soortgelyk behalwe dat 'n korreksiefaktor F dikwels toegepas moet word in die hitte-oordrag vergelyking.

Daar is tye wanneer die vier temperature wat gebruik word om die LGTV te bepaal nie beskikbaar is nie. Die NTU-metode mag dan gebruik word.

 

Die volgende benadering kan ook gebruik word:

${\displaystyle \Delta T_{g}\approx {\frac {T_{w,in}-T_{w,uit}}{2}}-{\frac {T_{k,uit}-T_{k,in}}{2}}\ =\ {\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{2}}}$ 

${\displaystyle \Delta T_{g}\approx {\frac {1}{2}}\left(T_{w,in}+T_{w,uit}-T_{k,in}-T_{k,uit}\right)}$ 

waar

${\displaystyle \Delta T_{g}>\Delta T_{lg}}$ 

Kyk grafiek aan die regterkant.

Hierdie formule word soos volg afgeleiː

Die hittelas van die warm en koue kant kan soos volg geskryf word:

${\displaystyle Q_{w}=m_{w}C_{p,w}\left(T_{w1}-T_{w2}\right)}$ 

${\displaystyle Q_{k}=m_{k}C_{p,k}\left(T_{k2}-T_{k1}\right)}$ 

Herskryf die twee vergelykings hierbo:

${\displaystyle {\frac {Q_{w}}{m_{w}C_{p,w}}}=T_{w1}-T_{w2}}$ 

${\displaystyle {\frac {Q_{k}}{m_{k}C_{p,k}}}=T_{k1}-T_{k2}}$ 

Indien die twee vergelyking bymekaar gevoeg word, word die volgende gekry:

${\displaystyle {\frac {Q_{w}}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {Q_{k}}{m_{k}C_{p,k}}}=T_{w1}-T_{w2}+T_{k1}-T_{k2}}$ 

Siende dat:

${\displaystyle Q_{k}=Q_{w}=Q}$ 

Dan is:

${\displaystyle Q\left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)=\left(T_{w1}-T_{k2}\right)-\left(T_{w2}-T_{k1}\right)}$  - *

Die terms ${\displaystyle \left(T_{w1}-T_{k2}\right)}$  en ${\displaystyle \left(T_{w2}-T_{k1}\right)}$  is die twee benaderingstemperature van die hitteruiler. Stel hierdie gelyk aan ${\displaystyle \theta _{1}}$  en ${\displaystyle \theta _{2}}$ 

Indien 'n baie klein gedeelte van die hitteruiler beskou word, sal ${\displaystyle \theta _{1}\approx \theta _{2}}$ . Vervang nou:

${\displaystyle Q}$  met ${\displaystyle dQ}$ 

en

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$  met ${\displaystyle d\theta }$ 

Verder, indien:

${\displaystyle Q=UA\left(T_{w}-T_{k}\right)}$ 

vervang word met:

${\displaystyle dQ=U\times dA\times \theta }$ 

dan is:

${\displaystyle UdA\theta \left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)=d\theta }$ 

${\displaystyle UdA\left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)={\frac {d\theta }{\theta }}}$ 

Indien gedifferensieer word vir die hele lengte van die hitteruiler:

${\displaystyle \int _{0}^{A}UdA\left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\frac {d\theta }{\theta }}}$ 

${\displaystyle UA\left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)=\ln {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}$ 

Indien vergelyking * herskryf word:

${\displaystyle Q\left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)=\theta _{2}-\theta _{1}}$ 

${\displaystyle \left({\frac {1}{m_{w}C_{p,w}}}+{\frac {1}{m_{k}C_{p,k}}}\right)={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{Q}}}$ 

Vervang hierdie vergelyking in:

${\displaystyle UA\left({\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{Q}}\right)=\ln {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}$ 

${\displaystyle Q=UA{\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{\ln \theta _{2}/\theta _{1}}}}$ 

Dus:

${\displaystyle \Delta T_{lg}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{\ln \theta _{2}/\theta _{1}}}}$ 

Wanneer dit bereken is, word die LGTV gewoonlik gebruik om die warmteoordrag in 'n hitteruiler te bepaal volgens die volgende vergelyking:

${\displaystyle Q=U\times A\times \Delta T_{g}}$ 

Waar Q die uitgeruilde warmte-energie is (in watt), en U die warmteoordragskoëffisiënt (in watt per kelvin per vierkante meter) en A die oordragoppervlak in vierkante meter is. In warmteoordragskoëffisiënt word beskryf hoe U bepaal word.

 

 

 

 

 

Wanneer 'n hitteruiler meer as een buisgang het, ondervind elke buisgang nie teenstroom nie - sommige buise ondervind parallele vloei. In so 'n geval moet ${\displaystyle \Delta T_{lg}}$  gekorrigeer word met 'n korreksiefaktor ${\displaystyle F_{t}=1}$ .

Hierdie temperatuurkorreksiefaktor is 'n funksie van die hoeveelheid gange van die hitteruiler, die posisie van die in- en uitlate van die hitteruiler en die in- en uitlaat temperature.

Vir 'n enkel buisganghitteruiler is ${\displaystyle F_{t}=1}$ 

Vir 'n hitteruiler met een mantelgang en buisgange in veelvoude van twee, kan ${\displaystyle F_{t}=1}$  soos volg bepaal word:

As ${\displaystyle T_{1}}$  = mantelkant inlaat, ${\displaystyle T_{2}}$  = mantelkant uitlaat, ${\displaystyle t_{1}}$  = buiskant inlaat, ${\displaystyle t_{2}}$  = buiskant uitlaatː

${\displaystyle R={\frac {T_{1}-T_{2}}{t_{2}-t_{1}}}}$ 

${\displaystyle S={\frac {t_{2}-t_{1}}{T_{1}-t_{1}}}}$ 

${\displaystyle F_{t}={\frac {{\sqrt {R^{2}+1}}\ln {\left[{\frac {1-S}{1-RS}}\right]}}{\left(R-1\right)\ln {\left[{\frac {2-S\left[R+1-{\sqrt {R^{2}+1}}\right]}{2-S\left[R+1+{\sqrt {R^{2}+1}}\right]}}\right]}}}}$ 

Die afleiding van hierdie formule word gegee deur Kern (1950).

Vir ander hitteruilerkonfigurasies moet dit afgelees word van grafieke. Hierdie grafieke is ook 'n funksie van ${\displaystyle R}$  en ${\displaystyle S}$ .

• Coulson and Richardson's Chemical Engineering, volume 6, 4de uitgawe, 2005, hoofstuk 12.6, bladsy 655
• Kay J M & Nedderman R M (1985) Fluid Mechanics and Transfer Processes, Cambridge University Press

• Hitteruiler
• Warmteoordrag