कैसे भिन्न को लघुत्तम से महत्तम क्रम में रखें

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इस आर्टिकल में:

दिए गए कई भिन्नों को क्रमान्वित करना

दिए गए दो भिन्नों को वज्रगुणन द्वारा क्रमान्वित

एक से बड़े भिन्न को क्रमान्वित करना

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स्रोत और उद्धरण

पूर्णांक जैसे कि 1, 3 और 8 को अपने परिमाण के आधार पर क्रम में रखना आसान है, लेकिन भिन्न को सिर्फ देखकर आंकना कठिन होता है। यदि भिन्न के हर में दी गयी संख्या समान है तो आप इसे पूर्णांक की ही तरह क्रम में रख सकते हैं, उदाहरण के लिए 1/5, 3/5, और 8/5। अन्यथा आपको भिन्न के हर को इसका मान बदले बिना सामान करते हुए क्रमान्वित करना होगा। यह अभ्यास द्वारा आसान हो जाता है और आप इसे सीखने के कुछ विशिष्ट तरीकों द्वारा भिन्न की तुलना कर सकते हैं।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 3:

दिए गए कई भिन्नों को क्रमान्वित करना

1. 1
   दिए गए सभी भिन्न का सामान्य हर प्राप्त करें: दिए गए किसी भी एक तरीके का द्वारा सामान्य विभाजक प्राप्त कीजिये जिससे आप फिर से दिए गए भिन्न दर्शाकर इनकी तुलना कर सकते हैं। इसे “सामान्य विभाजक” या “लघुत्तम सामान्य विभाजक” कहते हैं।

   • सभी भिन्नों के असमान हर का गुणनफल प्राप्त कीजिये। उदाहरण के लिए, यदि आप 2/3, 5/6 और 1/3 की तुलना कर रहें हैं, तो इसके असमान हरों का गुणनफल होगा: 3 x 6 = 18 । यह एक आसान तरीका है, लेकिन इसमें दूसरी विधि की तुलना में बड़ी संख्या मिलती है, जिसे हल करना मुश्किल हो जाता है।
   • या सभी भिन्नों के हरों के गुणज को पंक्ति में लिखिए, जब तक सभी पंक्तियों में कम से कम एक समान संख्या न दिखे। इस संख्या का उपयोग कीजिये। उदाहरण के लिए, 2/3, 5/6, और 1/3 की तुलना में, 3 के कुछ गुणज लिखिए: 3, 6, 9, 12, 15, 18,.... फिर 6 के गुणज लिखिए: 6, 12, 18,....चूँकि, 18 दोनों पंक्तियों में मौजूद है, इस संख्या का उपयोग कीजिये। (आप 12 भी ले सकते हैं, लेकिन निचे दिए गए उदाहरण में 18 लिया गया है।)
2. 2
   सभी भिन्न को सामान्य हर में परिवर्तित कीजिये: ध्यान रखिये, यदि आप भिन्न के हर तथा अंश को समान अंक से गुणा करेंगे तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। इसे सभी भिन्नों पर कीजिये जिससे सभी भिन्नों का हर समान हो जाए। इसे 2/3, 5/6 और 1/3 पर सामान्य विभाजक 18 से कीजिये।

   • 18 ÷ 3 = 6, so 2/3 = (2x6)/(3x6) = 12/18
   • 18 ÷ 6 = 3, so 5/6 = (5x3)/(6x3) = 15/18
   • 18 ÷ 3 = 6, so 1/3 = (1x6)/(3x6) = 6/18
3. 3
   भिन्न को क्रमान्वित करने के लिए अंश का उपयोग कीजिये: अभी जब सभी भिन्नों के हर समान हैं, तो भिन्नों की तुलना करना आसान है। भिन्नों के अंश को छोटे से बड़े क्रम में लिखिए। ऊपर दिए गए भिन्नों को क्रम से रखने पर हमें 6/18, 12/18, 15/18 मिलेगा।
4. 4
   सभी भिन्नों को पूर्वानुसार लिखिए: भिन्नों को उसी क्रम में लिखिए, लेकिन उन्हें उनके मूलरूप में लिखिए। आप इसे यह ध्यान रखते हुए लिख सकते हैं कि किस प्रकार हमने भिन्नों को परिवर्तित किया, या इसे भिन्न के हर और अंश को फिर से विभाजित करते हुए प्राप्त कर सकते हैं।

   • 6/18 = (6 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 1/3
   • 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3
   • 15/18 = (15 ÷ 3)/(18 ÷ 3) = 5/6
   • इसका उत्तर होगा "1/3, 2/3, 5/6"

विधि 2

विधि 2 का 3:

दिए गए दो भिन्नों को वज्रगुणन द्वारा क्रमान्वित

1. 1
   दिए गए दोनों भिन्नों को एक साथ लिखिए: उदाहरण के लिए, भिन्न 3/5 तथा 2/3 की तुलना कीजिये। इन दोनों भिन्नों को एक दूसरे के बाजू में लिखिए: 3/5 बायीं तरफ और 2/3 दायीं तरफ लिखिए।
2. 2
   पहले भिन्न के अंश का दुसरे भिन्न के हर से गुणा कीजिये: हमारे दिए गए उदाहरण में, पहले भिन्न (3/5) का अंश 3 है, और दूसरे भिन्न (2/3) का हर भी 3 है। इन दोनों अंकों का गुणनफल प्राप्त कीजिये: 3 x 3 = ?।

   • इस विधि को “वज्रगुणन कहते” हैं, क्योंकि इसमें हम दोनों भिन्नो को तिरछा गुणा करते हैं।
3. 3
   अपने उत्तर को पहले भिन्न के आगे लिखिए: इस गुणनफल या अपने उत्तर को पहले भिन्न के आगे लिखिए। हमारे उदाहरण में, यह 3 x 3 = 9 है इसलिए आप पहले भिन्न के आगे 9 लिखेंगे।
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   पहले भिन्न के हर का दूसरे भिन्न के अंश से गुणा कीजिये: कौन सा भिन्न बड़ा है, यह पता लगाने के लिए हमें इन दोनों गुणनफल की तुलना करनी होगी। इन दोनों अंको का गुणनफल प्राप्त कीजिये। उदाहरण के लिए, (3/5 तथा 2/3 की तुलना में) 2 x 5 का गुणा कीजिये।
5. 5
   इस उत्तर को दूसरे भिन्न के आगे लिखिए: इस दूसरे गुणनफल को दूसरे भिन्न के आगे लिखिए। इस उदाहरण में, यह उत्तर 10 है।
6. 6
   इन दो वज्रगुणनफल के मूल्यों की तुलना करें: इस विधि द्वारा प्राप्त उत्तर को “वज्र-गुणनफल” कहते हैं। यदि एक गुणनफल दूसरे से बड़ा है तो उस गुणनफल के साथ लिखा भिन्न बड़ा होगा। हमारे उदाहरण में, क्योंकि 9 अंक 10 से छोटा है, इसका मतलब 3/5 भिन्न 2/3 से छोटा होगा।

   • ध्यान रखिये, हमेशा जिस भिन्न का अंश लिया गया है उसका वज्रगुणनफल उस भिन्न के आगे लिखिए।
7. 7
   यह कैसे होता है इसे समझिये: दो भिन्नों की तुलना करते वक्त, सामान्य तौर पर हम उनके हर को परिवर्तित कर के समान करते हैं। यही वज्रगुणनफल करता है! इस विधि में हम भिन्नों के हर नहीं लिखते, इसमें सिर्फ अंशों की तुलना करते हैं।

   • 3/5 = (3x3)/(5x3) = 9/15
   • 2/3 = (2x5)/(3x5) = 10/15
   • 9/15 is less than 10/15
   • इसलिए, 3/5 भिन्न 2/3 से कम है

विधि 3

विधि 3 का 3:

एक से बड़े भिन्न को क्रमान्वित करना

1. 1
   इस विधि को बराबर हर और अंश या बड़े अंश वाले भिन्नों में उपयोग कीजिये: यदि किसी भिन्न का अंश उसके हर से बड़ा है, तो वह भिन्न एक से बड़ा होगा। 8/3 इस तरह के भिन्न का उदाहरण है। आप इसे समान हर और अंश वाले भिन्न में भी उपयोग कर सकते हैं, जैसे के 9/9। यह दोनों उदाहरण “विषम भिन्न” के हैं।

   • इन भिन्नो के लिए भी आप दूसरी विधि का उपयोग भी कर सकते हैं। इस विधि द्वारा भिन्नों की ज्यादा अर्थपूर्ण और तेजी से तुलना कर सकेंगे।
2. 2
   हर विषम भिन्न को मिश्रित संख्या में परिवर्तित कीजिये: विषम भिन्न को पूर्ण संख्या और भिन्न में परिवर्तित कीजिये। कभी-कभी आप इसे मुजबानी कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 9/9 = 1, दुसरे भिन्नों में अंश को हर से विभाजित कर के पूर्ण संख्या पारपत कीजिये और शेष भाग को भिन्न के रूप में उस पूर्ण संख्या के आगे लिखिए। उदाहरण के लिए:

   • 8/3 = 2 + 2/3
   • 9/9 = 1
   • 19/4 = 4 + 3/4
   • 13/6 = 2 + 1/6
3. 3
   इन मिश्रित भिन्नों को पूर्ण संख्या के बढ़ते क्रम में लिखिए: अभी यहाँ विषम भिन्न नहीं है, इससे आपको यह पता चल सकेगा कि कौन सा भिन्न बड़ा है या छोटा है। थोड़ी देर के लिए भिन्न को भूल जाएँ और केवल पूर्णांक पर गौर करते हुए छांटिये।

   • 1 सबसे छोटा
   • 2 + 2/3 and 2 + 1/6 (इसमें से बड़ा भिन्न हमें पता नहीं)
   • 4 + 3/4 सबसे बड़ा
4. 4
   आवश्यक होने पर, हर समूह के भिन्न की तुलना करें: यदि आपके पास कई समान पूर्णांक वाले कई मिश्रित भिन्न हैं, जैसे कि 2 + 2/3 और 2 + 1/6, तो इसमें भिन्न की तुलना करते हुए बड़े भिन्न का पता लगाइए। इसे करने के लिए आप किसी भी विधि का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ एक उदाहरण में, 2 + 2/3 और 2 + 1/6 की तुलना में, इन भिन्नों को समान हर में परिवर्तित करेंगे:

   • 2/3 = (2x2)/(3x2) = 4/6
   • 1/6 = 1/6
   • 4/6 बड़ा है 1/6 से
   • 2 + 4/6 बड़ा है 2 + 1/6 से
   • 2 + 2/3 बड़ा है 2 + 1/6 से
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   अपने इस परिणाम दिए गए मिश्रित भिन्न को छांटने में उपयोग कीजिये: एक बार जब आपने भिन्न को मिश्रित संख्या में छांट लिया हो, तो आप पूरी लिस्ट को छांट सकते हैं: 1, 2 + 1/6, 2 + 2/3, 4 + 3/4.
6. 6
   इन मिश्रित भिन्नों को उनके पूर्व भिन्न में ले आइये: इसे लिखते समय क्रम सही रखिये, लेकिन विषम भिन्नों को उनके पूर्वरूप में ले आइये: 9/9, 8/3, 13/6, 19/4.

सलाह

• बहुत अधिक संख्या में दिए गए भिन्नों को क्रमान्वित करते समय, उन्हें छोटे समूहों में क्रमान्वित करना लाभप्रद होगा।
• यदि भिन्नों के अंश समान हैं तो आप इन्हें हर के “उलटे” क्रम में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 1/8 < 1/7 < 1/6 < 1/5। इसे पिज़्ज़ा के रूप में सोचिये, यदि आप 1/2 से 1/8 तक जायेंगे, तो इसका मतलब है की आप पिज़्ज़ा को 2 हिस्सों की बजाय 8 हिस्सों में काट रहें हैं, और इसमें पाया जानेवाला हिस्सा काफी छोटा होगा।
• लघुत्तम सामान्य विभाजक निकालना आसान होगा फिर भी कोई भी सामान्य विभाजक यह कार्य कर सकता है। 2/3, 5/6 और 1/3 को छांटने की कोशिश इसके सामान्य विभाजक 36 द्वारा कीजिये, और पता लगाइए कि आपको वही परिणाम मिलता है।