Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)

Dieser Kurs ist eine Einführung in die Theorie der riemannschen Flächen. Eine riemannsche Fläche ist eine komplex-eindimensionale Mannigfaltigkeit und als solche eine Verallgemeinerung von offenen Teilmengen von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$, mit denen sich die klassische Funktionentheorie beschäftigt. Das Studium der riemannschen Flächen verbindet funktionentheoretische, topologische, analytische und algebraische Aspekte. Die Beziehungen zwischen lokalen und globalen Eigenschaften werden durch garbentheoretische und kohomologische Methoden deutlich sichtbar. Wichtige Einzelaspekte sind holomorphe Abbildungen, Überlagerungen, Verzweigung, analytische Fortsetzung, Nullstellengebilde, Differentialformen und Wegintegrale, meromorphe Funktionen, Hauptteile, Divisoren und invertierbare Garben. Im kompakten Fall wird die Beziehung zu glatten projektiven Kurven hergestellt(Satz 26.3,Satz 26.9,Satz 26.10),die Hauptsätze wieder Satz von Riemann-Roch,Serre-Dualität,die Riemann-Hurwitz-Formelwerden analytisch bewiesen. Der Satz von Abel-Jacobiverbindet schließlich die Divisorenklassengruppe mit Wegintegralen.