Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler

Arens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens^[1] oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra ${\textstyle A\in {\mathcal {B}}_{e}^{k}}$ mit Norm ${\textstyle \|\cdot \|}$ äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von ${\textstyle A}$ . Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von ${\textstyle A}$ ist, in einer Algebraerweiterung ${\textstyle B}$ von ${\textstyle A}$ invertierbar ist.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}z\,{\mathcal {B}}^{k}{\mbox{-singulär }}&\Leftrightarrow &z\in {\mathcal {TNT}}(A)\\&\Leftrightarrow &\displaystyle \inf _{\|x\|=1}\{\|zx\|\}=0\\&\Leftrightarrow &\exists _{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in A^{\mathbb {N} },\|x_{n}\|=1}:\lim \limits _{n\to \infty }\|z\cdot x_{n}\|=0\\z\,{\mathcal {B}}^{k}{\mbox{-regulär }}&\Leftrightarrow &\exists _{D>0}\forall _{x\in A}:\|x\|\leq D\cdot \|zx\|\end{array}}}$

(siehe auch Arens 1959^[1])

Ziel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem Haupsatz über ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -reguläre Elemente bewiesen werden.

Bevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra ${\displaystyle A}$ untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Erweiterung.

Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler Bearbeiten

Ist die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden.Sei ${\textstyle A}$ eine topologische Algebra, dann heißt ${\textstyle z\in A\setminus \{0_{A}\}}$ rechtsseitiger Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {NT}}_{r}(A)}$ ), falls ein ${\textstyle 0_{A}\not =x\in A}$ existiert mit ${\textstyle z\cdot x=0}$ bzw. linksseitiger Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {NT}}_{l}(A)}$ ), falls es ein ${\textstyle 0_{A}\not =x\in A}$ gibt mit ${\textstyle x\cdot z=0}$ . ${\textstyle z}$ heißt Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {NT}}(A)}$ ) in ${\textstyle A}$ , wenn ${\textstyle z}$ ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in ${\textstyle A}$ ist.

Nullteiler permanent singulär Bearbeiten

Rechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation ${\displaystyle e_{A}}$ zu liefern. ${\displaystyle z\cdot z^{-1}=e_{A}=z^{-1}\cdot z}$ . Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ -Regularität in einer Algebraerweiterung.

Sei ${\textstyle A}$ eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler.

Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler Bearbeiten

Man nennt ${\textstyle z\in A}$ einen rechtsseitgen topologischen Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ ), falls es eine Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass gilt:

$${\displaystyle 0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}}$$

Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler Bearbeiten

${\textstyle z\in A}$ heißt linksseitger topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$ ), falls ein ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist:

$${\displaystyle 0_{A}\in {\overline {(A\setminus U_{0})\cdot z}}}$$

Dabei ist ${\textstyle 0_{A}}$ der Nullvektor in der topologischen Algebra ${\displaystyle A}$ .

Definition: topologische Nullteiler Bearbeiten

${\textstyle z\in A}$ ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ ), falls ${\textstyle z}$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist^[2].

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ , dann ist ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$ ) genau dann, wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt mit, so dass für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gilt:

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )}$$

bzw.

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$$

siehe Beweis für das Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional

Man betrachtet die Algebra ${\textstyle {\cal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ aller stetigenreellwertigen Funktionen ${\textstyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ mit den Halbnormen

$${\displaystyle \left\|f\right\|_{m}:=\max _{|t|\leq m}|f(t)|{\mbox{ mit }}m\in \mathbb {N} .}$$

Topologisierung der Algebra Bearbeiten

${\textstyle A:={\cal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebraüber ${\textstyle \mathbb {R} }$ mit punktweiser Multiplikation und Einselement ${\textstyle e(t)=1}$ für alle${\textstyle t\in \mathbb {R} }$ . Jedes singuläre Element ${\textstyle g\in {\cal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ hat eineNullstelle ${\textstyle t_{o}\in \mathbb {R} }$ . Betrachte die ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ -Kugel${\textstyle U:=B_{1/2}^{m}(0)}$ der ${\textstyle m}$ -ten Halbnorm um ${\textstyle 0_{A}}$ mit${\textstyle m\geq |t_{o}|+1}$ .

Definition der Funktionenfolge Bearbeiten

$${\displaystyle f_{n}(t):=\left\{{\begin{array}{ll}1-n\cdot |t-t_{o}|&\ {\mbox{ für }}t\in \left[t_{o}-{\frac {1}{n}},t_{o}+{\frac {1}{n}}\right]\\0&{\mbox{ sonst }}\\\end{array}}\right.}$$

Für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\textstyle m\geq |t_{o}|+1}$ gilt: ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{m}=1\Longrightarrow f_{n}\notin U}$ (siehe auch Geogebra Applet^[3]).

Veranschaulichung der Funktionenfolge Bearbeiten

Die folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung ${\displaystyle f_{n}}$ aus der vorherigen Definition der ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ .

Grenzwert der Funktionenfolge Bearbeiten

Die folgende Grenzfunktion ${\displaystyle f_{o}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist nicht stetig und die Cauchy-Folge der Funktionen ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert nicht. ${\displaystyle f_{o}(t)=1{\mbox{ für }}t=t_{o}{\mbox{ und }}f_{o}(t)=0{\mbox{ sonst }}}$

Reguläre Elemente Bearbeiten

Ein reguläres Element ${\displaystyle f\in {\mathcal {G}}(A)}$ darf in dem Funktionenraum ${\displaystyle A}$ keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}g:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &g(x)={\frac {1}{f(x)}}\end{array}}}$$

Mit ${\displaystyle f\cdot g=g\cdot f=e_{A}}$ , wobei ${\displaystyle e_{A}(x)=1}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ die konstante Funktion mit Wert 1 ist.

Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers Bearbeiten

Mit der Notation ${\displaystyle f^{-1}}$ meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {W} }$ . Ein multiplikativ inverse Funktion in ${\displaystyle h\in A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {W} \to \mathbb {D} }$ Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie ${\displaystyle A}$ . Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation ${\displaystyle f^{-1}}$ hier nicht verwendet.

Singuläre Elemente - permanent singulär Bearbeiten

Ist nun ${\displaystyle f_{0}}$ ein singuläres Element, dann hat ${\displaystyle f_{0}}$ eine Nullstelle in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Sei ${\displaystyle t_{0}\in \mathbb {R} }$ die Nulltstelle von ${\displaystyle f_{0}}$ . Dann definiert man die Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ wie oben für die Nullstelle ${\displaystyle t_{0}\in \mathbb {R} }$ . Mit

$${\displaystyle \left\|f\right\|_{m}=\max _{|t|\leq m}|f(t)|{\mbox{ mit }}m\in \mathbb {N} .}$$

gilt ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{m_{1}}\leq \left\|\cdot \right\|_{m_{2}}}$ für ${\displaystyle m_{1}\leq m_{2}}$ .

Abschätzung - topologische Nullteiler Bearbeiten

Wegen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{m_{1}}\leq \left\|\cdot \right\|_{m}}$ für ${\displaystyle m_{1}\leq m}$ wähle ohne Einschränkung ${\displaystyle m\geq |t_{0}|+1}$ .

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|f_{0}\cdot f_{n}\right\|_{m_{1}}&\leq &\left\|f_{0}\cdot f_{n}\right\|_{m}\,\,=\,\,\displaystyle \max _{|t|\leq m}|f_{0}(t)\cdot f_{n}(t)|\\&=&\max \left\{|f_{0}(t)\cdot f_{n}(t)|\,:\,|t-t_{0}|\leq {\frac {1}{n}}\right\}\\&=&\max {\bigl \{}|f_{0}(t)|\cdot \underbrace {|f_{n}(t)|} _{\leq 1}\,:\,|t-t_{0}|\leq {\frac {1}{n}}{\bigr \}}\\\\&=&\max \left\{|f_{0}(t)|\,:\,|t-t_{0}|\leq {\frac {1}{n}}\right\}\\&{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}&0\,\,\,{\mbox{ wegen }}f_{0}(t_{0})=0{\mbox{ und }}f_{0}{\mbox{ stetig in }}t_{0}\end{array}}}$$

Konvergenz - Definition TNT Bearbeiten

Mit geeignet gewählten Funktionenfolgen ${\textstyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ , denn es gilt:

$${\displaystyle f_{0}\cdot f_{n}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle n\longrightarrow \infty }}}0_{A}\Longrightarrow 0_{A}\in {\overline {f_{0}\cdot (A\setminus U)}}}$$

Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum Bearbeiten

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathbb {N} }}$ ist eine Halbnormensystem auf ${\displaystyle A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ . Insgesamt ist jedes singuläre Element ${\textstyle f_{0}}$ mit Nullstelle nicht nur ein ${\displaystyle {\mathcal {LC}}}$ -singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von ${\displaystyle A}$ .

Ein topologischer Nullteiler ${\textstyle z\in A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ ist in ${\textstyle A}$ nicht invertierbar.

Annahme: Sei ${\textstyle x\in A}$ invertierbar mit ${\textstyle z\cdot z^{-1}=e_{A}}$ mit ${\displaystyle e_{A}}$ als Einselement der Multiplikation in ${\displaystyle A}$ . Da

${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ ein topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ ist, gibt es ein Netz

$${\displaystyle (y_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in (A\setminus V)^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}{\mbox{ mit }}V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}){\mbox{ und }}w_{_{U}}:=y_{_{U}}\cdot z\in U.}$$

Stetigkeit der Multiplikation Bearbeiten

Aus der Stetigkeit der Multiplikation und${\textstyle w_{_{U}}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}$ folgt auch

${\textstyle w_{_{U}}\cdot z^{-1}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}$ und man erhält:

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle U(V)\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}:w_{_{U(V)}}\cdot z^{-1}\in V.}$$

Widerspruch Bearbeiten

Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:

$${\displaystyle V\not \ni y_{_{U(V)}}=y_{_{U(V)}}\cdot (z\cdot z^{-1})=(y_{_{U(V)}}\cdot z)\cdot z^{-1}\in V.}$$

Der Widerspruch zeigt, dass ${\textstyle z}$ in ${\textstyle A}$ nicht invertierbar sein kann.${\displaystyle \Box }$

Annahme: Sei ${\textstyle z\in A}$ invertierbar mit ${\textstyle z\cdot z^{-1}=e_{A}}$ mit ${\displaystyle e_{A}}$ als Einselement der Multiplikation in ${\displaystyle A}$ . Da ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ ein topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ ist, gibt es ein ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ , sodass für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$$

Unital positives Gaugefunktionalsystem Bearbeiten

Ohne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gilt ${\displaystyle \|e_{A}\|_{\beta }>0}$ . Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\displaystyle \gamma _{\beta }\in {\mathcal {A}}}$ mit:

${\displaystyle \|x_{1}\cdot x_{2}\|_{\alpha }\leq \|x_{1}\|_{\gamma _{\alpha }}\cdot \|x_{2}\|_{\gamma _{\alpha }}}$

Stetigkeit der Multiplikation Bearbeiten

Aus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle ${\displaystyle x\in A}$ mit ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }=1}$ :

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}1=\|x\|_{\alpha }&=&\|e_{A}\cdot x\|_{\alpha }=\|z\cdot z^{-1}\cdot x\|_{\alpha }\\&\leq &\|z^{-1}\|_{\gamma _{\alpha }}\cdot \underbrace {\|z\cdot x\|_{\gamma _{\alpha }}} _{\inf \to 0}\end{array}}}$$

Bildung des Infimums Bearbeiten

Durch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}1&=&\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\|x\|_{\alpha }=\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\|e_{A}\cdot x\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\|z\cdot z^{-1}\cdot x\|_{\alpha }\\&\leq &\|z^{-1}\|_{\gamma _{\alpha }}\cdot \displaystyle \underbrace {\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\gamma _{\alpha }}} _{=0}=0\end{array}}}$$

Widerspruch Bearbeiten

Der Widerspruch zeigt, dass ${\textstyle x}$ in ${\textstyle A}$ nicht invertierbar sein kann.${\displaystyle \Box }$

Sei ${\textstyle {\mathcal {K}}_{e}}$ eine Klasse von Algebren mit ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ , dann sind alle topologischen Nullteiler ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -singuläre Elemente.

Annahme: ${\displaystyle z\in A}$ ist ein topologischer Nullteiler in ${\displaystyle A}$ und zugleich in einer Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$ invertierbar.

Homöomorphie Bearbeiten

In dem Beweis wird die Homöomorphie ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ der Einbettung einer Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)}$ in die ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ -Erweiterung ${\textstyle \left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)}$ von ${\textstyle A}$ verwendet.

Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale Bearbeiten

Da ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ ein topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ ist, gibt es ein ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ , sodass für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$$

Stetigkeit der Einbettung 1 Bearbeiten

Mit der Stetigkeit der Einbettung ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ gibt es zu jedem ${\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ eine Konstante ${\displaystyle C_{\beta }>0}$ und ${\displaystyle \gamma _{\beta }\in {\mathcal {A}}}$ mit

${\displaystyle \forall _{x\in A}:\,\,\,\left\|\!\left|x\right|\!\right\|_{\beta }\leq C_{\beta }\cdot \|x\|_{\gamma _{\beta }}}$

Stetigkeit der Einbettung 2 Bearbeiten

Mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung ${\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}$ gibt es zu jedem ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine Konstante ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$ und ${\displaystyle \delta _{\alpha }\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ mit

${\displaystyle \forall _{x\in A}:\,\,\,\|x\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|x\right|\!\right\|_{\delta _{\alpha }}}$

Topologischer Nullteiler in der Erweiterung Bearbeiten

Wir zeigen nun, dass ${\displaystyle \tau (z)\in B}$ auch ein topologische Nullteiler in ${\textstyle B}$ ist, denn für alle ${\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gilt die folgende Abschätzung.

Anschätzung Topologischer Nullteiler Bearbeiten

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \inf _{\left\|\!\left|b\right|\!\right\|_{\delta _{\alpha }}=1,\,\,\,b\in B}\left\|\!\left|z\cdot b\right|\!\right\|_{\beta }&=&\displaystyle \inf _{\left\|\!\left|b\right|\!\right\|_{\delta _{\alpha }}\geq 1,\,\,\,b\in B}\left\|\!\left|z\cdot b\right|\!\right\|_{\beta }\\&=&\displaystyle \inf _{C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|b\right|\!\right\|_{\delta _{\alpha }}\geq 1,\,\,\,b\in B}\,\,{\frac {1}{C_{\alpha }}}\cdot \left\|\!\left|z\cdot b\right|\!\right\|_{\beta }\\&\leq &\displaystyle \inf _{C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\delta _{\alpha }}\geq 1,\,\,\,x\in A}\,\,{\frac {1}{C_{\alpha }}}\cdot \left\|\!\left|z\cdot \tau (x)\right|\!\right\|_{\beta }\\&\leq &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1,\,\,\,x\in A}\,\,{\frac {1}{C_{\alpha }}}\cdot \left\|\!\left|z\cdot x\right|\!\right\|_{\beta }\\&\leq &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}{\frac {1}{C_{\alpha }}}\cdot C_{\beta }\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{\gamma _{\beta }}=0\end{array}}}$

TNT in Algebraerweiterung Bearbeiten

Mit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass ${\displaystyle z\in A\subset B}$ auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in ${\textstyle B}$ nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass ${\displaystyle z\in A}$ in der Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$ invertierbar ist. ${\displaystyle \Box }$

Sei ${\textstyle A\in {\mathcal {T}}(\mathbb {K} )}$ eine topologische Algebra über ${\textstyle \mathbb {K} }$ , dann gilt:

$${\displaystyle A\cdot {\mathcal {TNT}}(A)\subset {\mathcal {TNT}}(A)\supset {\mathcal {TNT}}(A)\cdot A.}$$

Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit.

Sei ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung ${\textstyle V\in {\mathfrak {U}}(0)}$ ein Netz ${\textstyle (x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}(0)}}\in (A\backslash V)^{{\mathfrak {U}}(0)}}$ mit${\textstyle z\cdot x_{_{U}}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}(0)}}}0}$ . Demzufolge konvergiert das Netz ${\textstyle (a\cdot z\cdot x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}(0)}}}$ auch für alle ${\textstyle a\in A}$ gegen ${\textstyle 0}$ . Also ist ${\textstyle a\cdot z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ und man erhält insgesamt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}:A\cdot z\subset {\mathcal {TNT}}(A)\Longrightarrow A\cdot {\mathcal {TNT}}(A)\subset {\mathcal {TNT}}(A).\end{array}}}$

Die Behauptung ${\textstyle {\mathcal {TNT}}(A)\supset {\mathcal {TNT}}(A)\cdot A}$ zeigt man analog. ${\displaystyle \Box }$

In den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Aufgabe 1 - TNT singulär Bearbeiten

Zeigen Sie mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale, dass ein topologischer Nullteiler ${\textstyle x\in A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ in ${\textstyle A}$ nicht invertierbar ist.

1. ↑ ^{1,0 1,1} Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548
2. ↑ Zelazko, Wiezlaw (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986
3. ↑ Engelbert Niehaus (2021) Geogebra Applet - Topologischer Nullteiler - Definition der Funktionenfolge - Applet für Wikiversity Lernresource URL: https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 (Zugriff 2021/05/11)

• Algebraische Eigenschaften - permament singulär
• topologisch kleine Potenzen
• Multiplikative topologische Nullteiler
• B-Regularität
• P-Regularität
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität
• TNT-Kriterium für Gaugefunktional
• Multiplikative topologische Nullteiler
• MTNT-Kriterium für Gaugefunktional

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