Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien
Homöomorphie der Einbettung Bearbeiten Nun ist die Algebraerweiterung B {\displaystyle B} τ {\displaystyle \tau } τ − 1 {\displaystyle \tau ^{-1}} Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen )
Stetigkeit der Einbettung von A in B Bearbeiten Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung τ − 1 {\displaystyle \tau ^{-1}} 0 A [ t ] ∈ I {\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
‖ x + I ‖ ( α , n ) ( B ) := inf r ∈ I ‖ | x + r | ‖ ( α , n ) ≤ ‖ | x + 0 A [ t ] | ‖ ( α , n ) = C 0 n ( α ) ⋅ ‖ x ‖ ( n , 0 ) ( α ) = ‖ x ‖ ( α , n ) {\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x\|_{(n,0)}^{(\alpha )}=\|x\|_{(\alpha ,n)}} Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von A {\displaystyle A} A ′ ⊂ B := A [ t ] / I {\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I} ‖ x + I ‖ ( α , n ) ( B ) ≤ ‖ x ‖ ( α , n ) {\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}\leq \|x\|_{(\alpha ,n)}}
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 1 Bearbeiten Unter Verwendung der Abschätzung ‖ x ‖ A ≤ D ⋅ ‖ z ⋅ x ‖ A {\displaystyle \|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}}
‖ | x + r | ‖ ( α , n ) = C 0 n ( α ) ⋅ ‖ x − q 0 ‖ ( n , 0 ) ( α ) + ∑ k = 1 ∞ C k n ( α ) ⋅ ‖ z ⋅ q k − 1 − q k ‖ ( n , k ) ( α ) ≥ C 0 n ( α ) ⋅ ‖ x − q 0 ‖ ( n , 0 ) ( α ) + ∑ k = 1 ∞ C k n ( α ) ⋅ ( ‖ z ⋅ q k − 1 ‖ ( n , k ) ( α ) − ‖ q k ‖ ( n , k ) ( α ) ) ≥ C 0 n ( α ) ⋅ ‖ x − q 0 ‖ ( n , 0 ) ( α ) + ∑ k = 1 ∞ C k n ( α ) ⋅ ‖ z ⋅ q k − 1 ‖ ( n , k ) ( α ) − C k n ( α ) ⋅ ‖ q k ‖ ( n , k ) ( α ) ≥ ‖ x − q 0 ‖ n , 0 ) ( α ) + ∑ k = 1 ∞ C k − 1 n ( α ) ⋅ ‖ q k − 1 ‖ ( n , k − 1 ) ( α ) − C k n ( α ) ⋅ ‖ q k ‖ ( n , k ) ( α ) ≥ ‖ x − q 0 ‖ ( n , 0 ) ( α ) + ‖ q 0 ‖ ( n , 0 ) ( α ) ≥ ‖ x ‖ ( α , n ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x&+&r|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\\\&\geq &C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-\|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\right)\\\\&\geq &C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k-1}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k-1}\|_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\|q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}\geq \|x\|_{(\alpha ,n)}\end{array}}} Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 2 Bearbeiten Durch Infimumbildung über alle Polynome r ∈ I {\displaystyle r\in I} ‖ x + I ‖ ( α , n ) ( B ) := inf r ∈ I ‖ | x + r | ‖ ( α , n ) ≥ ‖ x ‖ ( α , n ) {\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\geq \|x\|_{(\alpha ,n)}}
![{\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x\|_{(n,0)}^{(\alpha )}=\|x\|_{(\alpha ,n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef284fbdb0fb5004b9b2bf46d6f9aea9d4eccbfe)
Arabic
English
Deutsch
French
Italiano
Español
Português
日本語 Japanese
Čeština
Russian
Svenska
Slovenščina
한국어 Korean
中文 Chinese
हिन्दी Hindi