Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 24

Auswertung von holomorphen Differentialformen längs eines Weges

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialformauf ${}X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse ${}\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

(sieheLemma 15.8).

Dann ist für jedengeschlossenen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\delta (\omega )\,.$

Beweis

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf ${}U_{i}$ besitzt ${}\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion ${}h_{i}$ mit ${}dh_{i}=\omega$ auf ${}U_{i}$ . Die zugehörige Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel ${}f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf ${}U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei ${}V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ einetopologische Ketteum ${}\gamma$ und es seien ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für ${}k=1,\ldots ,n-1$ .Wir setzen ferner ${}P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$ .Es sei ${}\gamma _{k}$ der Teilweg, der von ${}P_{k-1}$ nach ${}P_{k}$ führt und somit in ${}U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}

\Box

Die Wegintegrale ${}\int _{\gamma }\omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt ausSatz 17.7und für geschlossene Wege auch ausLemma 24.1in Verbindung mitLemma 23.5 (6).

Korollar

Es sei ${}X$ einezusammenhängende riemannsche Flächeund ${}\omega$ eineholomorphe Differentialformauf ${}X$ .

Dann ist ${}\omega$ genau dannexakt,wenn für allegeschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Es sei ${}c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

(sieheLemma 15.8).Die Exaktheit von ${}\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}X$ mit ${}\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenzäquivalent zu

{}\delta (\omega )=0\,.

WegenLemma 24.1folgt daher die Aussage ausLemma 23.7.

\Box

Korollar

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Flächeund ${}\omega$ eineholomorphe Differentialformauf ${}X$ .

Dann ist ${}\omega$ genau dann trivial, wenn für allegeschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Dies folgt ausKorollar 24.2,da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.

\Box

Korollar

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {K} }\right)},\,\omega \longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)},$

von den globalen holomorphen Differentialformenin den Homorphismenraumvon der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X)$ nach ${}{\mathbb {K} }$ .

Beweis

Dies folgt ausLemma 24.1undKorollar 23.9unter Verwendung der Injektivität von ${}\delta \colon H^{0}(X,\Omega _{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ .

\Box

Das Bild der zu ${}\omega$ gehörenden Periodenabbildung ${}\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ nennen wir die Periodengruppe zu ${}\omega$ , also

{}\operatorname {Per} (\omega )={\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,.

Es handelt sich um eine Untergruppe von ${}{\mathbb {C} }$ . Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.

Korollar

Es sei ${}X$ einkomplexer Torusund ${}\omega$ eine nichttrivialeholomorphe Differentialformauf ${}X$ .

Dann ist das Bildunter dem natürlichenGruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

ein Gitter ${}P$ in ${}{\mathbb {C} }$ , und ${}X$ ist biholomorphzu ${}{\mathbb {C} }/P$ .

Beweis

Es ist ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und der Projektion ${}p\colon {\mathbb {C} }\rightarrow X$ .Die Fundamentalgruppe von ${}X$ ist ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ , als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege

\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{1}],

und

\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{2}],

wählen. Die Bildgruppe ${}{\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}$ wird von ${}\int _{\gamma _{1}}\omega$ und ${}\int _{\gamma _{2}}\omega$ erzeugt. Es ist ${}\Gamma (X,\Omega _{X})$ nachKorollar 15.14eindimensional und wird von ${}dz$ erzeugt, wobei ${}z$ die Variable auf ${}{\mathbb {C} }$ sei und die Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist ${}\omega =sdz$ mit einem ${}s\in {\mathbb {C} }$ , ${}s\neq 0$ .Es ist somit unter Verwendung vonSatz Anhang.

{}\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}p^{*}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}sdz=\int _{0}^{1}sv_{1}dt=sv_{1}\,

und ebenso

{}\int _{\gamma _{2}}\omega =sv_{2}\,.

Also wird unter der Multiplikation mit ${}s$ , also ${}s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$ , ${}z\longmapsto sz$ , das Gitter ${}\Gamma$ in das Periodengitter ${}P$ überführt und nachLemma 9.11 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))sind ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und ${}{\mathbb {C} }/P$ äquivalent.

\Box

Bemerkung

Auf einem Torus ${}X=S^{1}\times S^{1}$ ist unabhängig von einer holomorphen Struktur

{}\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,

mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ als Basiswege(die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind)und ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$ ,sieheBeispiel 22.7.NachKorollar 23.9liegt ein natürlicherGruppenisomorphismus

H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {C} }\right)},\,c\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }c\right)},

vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahlzugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen ${}e_{\gamma _{1}}$ und ${}e_{\gamma _{1}}$ entsprechen.

Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer riemannschen Flächebesitzt, so erhält man mitLemma 15.8die exakte Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

und dazu (die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet)dielange Kohomologiesequenz

0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \ldots

(siehe auchLemma 31.4).Der Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ ist nachKorollar 15.14 eindimensional.Wenn ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege ${}t\mapsto tv_{1}$ bzw. ${}t\mapsto tv_{2}$ ( ${}t\in [0,1]$ )Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zuKorollar 24.5ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form ${}\gamma _{1}\mapsto sv_{1},\gamma _{2}\mapsto sv_{2}$ mit einem festen ${}s\in {\mathbb {C} }$ ,also ein Vielfaches von ${}v_{1}e_{\gamma _{1}}+v_{2}e_{\gamma _{1}}$ . Das Gitter spiegelt sich also darin wieder, wie der eindimensionale Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$ liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ kann genau dann als ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in ${}{\mathbb {C} }$ sind.

Bemerkung

Eine antiholomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist eine Differentialform ${}\omega \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {E}}^{(1)}}\right)}$ ,die lokal die Form ${}{\overline {f}}d{\overline {z}}$ besitzt. Durch komplexe Konjugation entsteht aus jederholomorphen Differentialformeine antiholomorphe Differentialform. Es gelten entsprechende Gesetzmäßigkeiten.

Beispiel

Wir betrachten die durch die Gleichung

{}W^{2}=Z{\left(Z^{2}-1\right)}{\left(Z^{2}+1\right)}=Z{\left(Z^{4}-1\right)}=Z(Z-1)(Z+1)(Z-{\mathrm {i} })(Z+{\mathrm {i} })\,

gegebene riemannsche Fläche ${}V$ und die vervollständigte (kompakte)Version ${}X$ davon, sieheKorollar 2.8undLemma 14.13.NachLemma 15.10undAufgabe 15.9ist ${}\omega ={\frac {dz}{w}}$ eineholomorphe Differentialformauf ${}X$ und nachLemma 17.12ist das dort beschriebene Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ für ${}z$ reell zwischen ${}-1$ und ${}0$ positiv. Es sei ${}\zeta$ eine primitiveachte Einheitswurzel,beispielsweise ${}\zeta =e^{\pi {\mathrm {i} }/4}$ .Durch ${}Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ und ${}W\mapsto \zeta W$ wird wegen

{}\zeta ^{2}Z{\left(\zeta ^{8}Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}Z{\left(Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}W^{2}={\left(\zeta W\right)}^{2}\,

eine biholmorphe Abbildung ${}\theta$ auf ${}V$ und dann auch auf ${}X$ festgelegt. NachSatz Anhang.gilt

{}\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\int _{\gamma }\theta ^{*}\omega =\int _{\gamma }\zeta \omega =\zeta \int _{\gamma }\omega \,.

Entsprechend sind die Wegintegrale zu ${}\omega$ längs der Wege ${}\theta ^{n}\circ g$ gleich ${}\zeta ^{n}\int _{\gamma }\omega$ . NachKorollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))sind die Potenzen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$ linear unabhängigüber ${}\mathbb {Q}$ und das überträgt sich auf die Perioden ${}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\zeta \int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{2}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{3}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{3}\int _{\gamma }\omega$ . Deshalb bilden die Perioden zu ${}\omega$ zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom Rangzumindest ${}4$ und daher ist die Periodengruppe keinGitterin ${}{\mathbb {C} }$ . Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um einedichteUntergruppe.

<< | Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung(PDF)