Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 14

Nullstellengebilde

Wir sind schon öfters der Situation begegnet, wo eine riemannsche Fläche bzw. eine holomorphe Funktion auf einer riemannschen Fläche eine polynomiale Bedingung erfüllt, sieheKorollar 2.8,Satz 5.14,Korollar 5.16,Lemma 13.9.In dieser Vorlesung besprechen wir die verschiedenen durch ein Polynom mit holomorphen Koeffizientenfunktionen gegebenen geometrischen Objekte systematisch.

Definition

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und sei ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})[T]$ . Dann nennt man

{}{\left\{(x,t)\in X\times {\mathbb {C} }\mid P(x,t)=0\right\}}\subseteq X\times {\mathbb {C} }\,

dasNullstellengebilde zu ${}P$ .

Diese Definition ist so zu verstehen: Zu ${}(x,t)\in X\times {\mathbb {C} }$ ist

{}P(x,t)=t^{n}+a_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)t+a_{0}(x)\,,

es wird also ${}x\in X$ in die holomorphen Koeffizientenfunktionen eingesetzt und ${}t$ wird in die Variable des Polynoms eingesetzt. Das Nullstellengebilde besteht aus allen Punkten ${}(x,t)$ , für die diese Einsetzung ${}0$ ergibt. Das Nullstellengebilde wird mit der induzierten Topologie von ${}X\times {\mathbb {C} }$ versehen. Häufig wird das Polynom als irreduzibel vorausgesetzt. Im Fall, dass ${}X={\mathbb {C} }$ oder eine offene Menge davon ist und dass die ${}a_{i}$ selbst Polynome in ${}x$ sind, ist ${}P$ ein Polynom in zwei Variablen über ${}{\mathbb {C} }$ und es wird das Paar ${}(x,t)$ in die beiden Variablen eingesetzt. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist durch das quadratische Polynom ${}T^{2}-z$ gegeben, wobei ${}z$ die Variable auf ${}{\mathbb {C} }$ bezeichnet. Für die Situation, wo statt ${}z$ ein Polynom in ${}z$ als konstanter Koeffizient des quadratischen Polynoms auftritt, sieheKorollar 2.8.

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebildezu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ .Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf ${}X$ . Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Faserzu ${}x\in X$ ist die Menge der Nullstellen des komplexen Polynoms ${}T^{n}+a_{n-1}(x)T^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)T+a_{0}$ .
Zu jedem ${}x\in X$ besteht ${}p^{-1}(x)\subseteq V$ aus höchstens ${}n$ Punkten.
Die Projektion
$p\colon V\longrightarrow X$
ist surjektivundendlich.
Es sei ${}X$ zusammenhängendund ${}P$ irreduzibel.Dann ist die Menge der Punkte ${}x\in X$ ,für die ${}p^{-1}(x)$ aus weniger als ${}n$ Punkten besteht, eine diskrete Teilmenge von ${}X$ .

Beweis

Dies ist klar, da man den Einsetzungsprozess in zwei Schritte aufteilen kann.
Dies folgt aus (1) undKorollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Der erste Teil folgt aus (1) und dem Fundamentalsatz der Algebra.Der zweite Teil ergibt sich mit einem ähnlichen Argument wie im Beweis zuLemma 9.5.
Dies folgt aus der Resultantentheorie, insbesondereSatz Anhang.angewendet auf ${}P$ und ${}P'$ . Da die Koeffizientenfunktionen holomorph sind, ist die Resultante eine holomorphe Funktion auf ${}X$ , die wegen der Irreduzibilität ${}\neq 0$ . Außerhalb deren Nullstellenmenge hat ${}P(x,-)$ keine mehrfache Nullstelle. Die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion ist diskret nachSatz 3.5.

\Box

Ohne die inLemma 14.2 (4)formulierte Bedingung der Irreduzibilität an das Polynom kann das glatte Nullstellengebilde leer sein. Die Irreduzibilität bzw. die schwächere Bedingung, dass ${}P$ und ${}P'$ keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen, ist also häufig nötig, damit die Aussagen sich nicht auf die leere Menge beziehen(die wir als riemannsche Fläche gelten lassen).InSatz 26.11wird gezeigt, dass für ein irreduzibles Polynom über einer zusammenhängenden riemannschen Fläche das Nullstellengebilde ebenfalls zusammenhängend ist.

Definition

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebildezu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ .Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf ${}X$ . Dann nennt man

{}{\tilde {V}}={\left\{v\in V\mid p^{-1}(p(v)){\text{ besteht aus }}n{\text{ Punkten}}\right\}}\subseteq V\,

das unverzweigte Nullstellengebilde zu ${}P$ .

Definition

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebildezu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ .Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf ${}X$ . Dann nennt man

{}W={\left\{(x,t)\in V\mid {\frac {\partial P}{\partial T}}(x,t)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial a_{n-1}}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}}{\partial z}}\neq 0\right\}}\subseteq V\,

das glatte Nullstellengebilde zu ${}P$ . Hierbei bezeichnet ${}z$ einen lokalen Parameterin einer offenen Umgebungvon ${}x$ .

Dabei ist ${}P'={\frac {\partial P}{\partial T}}$ die formale Ableitung nach ${}T$ . Ein Punkt ${}(x,t)$ des Nullstellengebildes, der nicht die Glattheitsbedingung aus der Definition erfüllt, heißt singulärer Punkt oder Singularität.

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und es sei ${}W\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ dasglatte Nullstellengebildezum irreduziblen Polynom ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ .

Dann ist ${}W$ eine riemannsche Fläche, die erste Projektion ${}p\colon W\rightarrow X$ ist eineholomorphe Abbildungund die zweite Projektion ${}W\rightarrow {\mathbb {C} }$ ist eine holomorphe Funktion.

Beweis

Wir betrachten die Abbildung

t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_{0}\colon X\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,t)\longmapsto t^{n}+a_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)t+a_{0}(x).

Wenn man ${}X$ lokal durch eine Karte mit dem offenen Kartenbild ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ beschreibt, so liegt eine komplex-differenzierbare Abbildung

\psi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }

in den komplexen Variablen ${}z$ und ${}t$ vor, wobei ${}z$ einen lokalen Parameter von ${}U$ bezeichne. Das Nullstellengebilde ${}V$ ist die Faser von ${}\psi$ über dem Nullpunkt ${}0\in {\mathbb {C} }$ .Die beiden partiellen Ableitungen von ${}\psi$ sind

{}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}(z,t)={\frac {\partial a_{n-1}(z)}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}(z)}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}(z)}{\partial z}}\,

und

{}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(z,t)=nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(z)t^{n-2}+\cdots +2a_{2}(z)t+a_{1}(z)\,.

Ein Punkt ${}(x,t)\in U\times {\mathbb {C} }$ ist genau dann ein regulärer Punktfür ${}\psi$ , wenn zumindest eine der beiden partiellen Ableitungen in diesem Punkt nicht verschwindet. Deshalb ist das glatte Nullstellengebilde ${}W$ nach Definition die Menge der regulären Punkte zu ${}\psi$ . DerSatz über implizite Abbildungenzeigt, dass die Faser ${}V$ lokal in jedem regulären Punkt homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$ ist, und dass diese Homöomorphismen durch komplex-differenzierbare Abbildungen nach ${}U\times {\mathbb {C} }$ gegeben sind. Somit liegt auf ${}W$ die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit vor, also eine riemannsche Fläche.Die Holomorphie der beiden Abbildungen ergibt sich ebenfalls aus dem Satz über implizite Abbildungen.

\Box

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ .

Dann ist dasunverzweigte Nullstellengebildeeine offene Teilmenge desglatten Nullstellengebildeszum Polynom ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ .

Ein Punkt ${}(x,t)$ des Nullstellengebildes gehört genau dann zum unverzweigten Nullstellengebilde, wenn oberhalb von ${}x$ alle Punkte glatt undunverzweigtsind.

Beweis

In den Punktes des unverzweigten Nullstellengebildes haben ${}P$ und ${}P'$ (Ableitung nach ${}T$ )keine gemeinsame Nullstelle. D.h. ${}P'$ hat in diesen Punkten keine Nullstelle und daher handelt es sich insbesondere um einen glatten Punkt. Es bezeichne ${}X'\subseteq X$ die offene Teilmenge von ${}X$ bestehend aus allen Punkten ${}x\in X$ mit der Eigenschaft, dass alle Punkte darüber glatt sind. Dabei gilt ${}X\setminus D\subseteq X'$ ,wobei ${}D$ die Menge ausLemma 14.2 (4)bezeichnet. Wir betrachten die eingeschränkte Projektion ${}p'\colon p^{-1}(X')\rightarrow X'$ .Hierbei ist ${}p^{-1}(X')$ als Teilmenge des glatten Nullstellengebildes eine riemannsche Flächeund die Abbildung istendlichmit Blätterzahl ${}n$ . NachSatz 9.10ist ${}p'$ genau dann überall unverzweigt, wenn die Faseranzahl gleich ${}n$ ist.

\Box

Lemma

Es sei ${}X$ einezusammenhängende riemannsche Fläche,seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und sei ${}{\tilde {V}}\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das unverzweigte Nullstellengebildezum irreduziblen Polynom ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ .

Dann ist die Abbildung

$p\colon {\tilde {V}}\longrightarrow U$

mit ${}U=p({\tilde {V}})$ eine endliche Überlagerungmit Blätterzahl ${}n$ vor und ${}{\tilde {V}}$ ist eineriemannsche Fläche.

Beweis

Es ist ${}U=X\setminus D$ mit ${}D$ wie inLemma 14.2 (4)und es ist ${}p^{-1}(U)={\tilde {V}}$ .Es ist ${}{\tilde {V}}$ eine riemannsche Fläche nachLemma 14.6und die Abbildung ${}{\tilde {V}}\rightarrow U$ ist eine endliche Überlagerung nachSatz 9.10.

\Box

Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${}a_{0}(z)=z$ auf ${}{\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom ${}t^{n}-z$ . Das Nullstellengebilde

{}V=V(t^{n}-z)\subseteq {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,

ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion

{\mathbb {C} }\longrightarrow V,\,t\longmapsto (t^{n},t),

die biholomorph wird, wenn ${}V$ im Sinne vonLemma 14.5als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die zweite Projektion auf ${}{\mathbb {C} }$ . Dasunverzweigte Nullstellengebildeist ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}\cong V\setminus \{0,0\}$ .

Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${}a_{0}(z)=z^{2}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom

{}t^{2}-a_{0}(z)=t^{2}-z^{2}=(t-z)(t+z)\,.

Das Nullstellengebilde

{}V=V(t^{2}-z^{2})\subset {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,

ist die Vereinigung von zwei komplexen Ebenen, die sich im singulären Punkt ${}(0,0)$ kreuzen, es liegt das komplexe Achsenkreuz vor. Das glatte Nullstellengebildeist

{}W=V\setminus \{(0,0)\}={\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\uplus {\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\,,

die disjunkte Vereinigung von zwei punktierten komplexen Zahlengeraden(also Gaußsche Zahlenebenen)und ist insbesondere nicht zusammenhängend.Dies ist auch dasunverzweigte Nullstellengebilde.

Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${}a_{0}(z)=z^{3}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom

{}t^{2}-a_{0}(z)=t^{2}-z^{3}\,.

Das Nullstellengebilde

{}V=V(t^{2}-z^{3})\subset {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,

nennt man die Neilsche Parabel. Die partiellen Ableitungen sind ${}2t$ bzw. ${}3z^{2}$ ,somit ist ${}(0,0)$ der einzige singuläre Punkt und das glatte Nullstellengebildeist ${}W=V\setminus \{(0,0)\}$ .Zu ${}z\neq 0$ gibt es oberhalb von ${}z$ die beiden Punkte ${}\pm {\sqrt {z^{3}}}$ und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem unverzweigten Nullstellengebildeüberein.

Wir werden inSatz 14.11sehen, dass man das glatte Nullstellengebilde über die singulären Punkte des Nullstellengebildes hinaus zu einer größeren riemannschen Fläche mit einer surjektiven endlichen holomorphen Abbildung nach ${}X$ erweitern kann. Im Beispiel der Neilschen Parabel wird dies durch die Abbildung

{\mathbb {C} }\longrightarrow V,\,u\longmapsto (u^{2},u^{3})=(z,t),

geleistet, die bijektiv ist und auf dem glatten Ort biholomorph. Im Beispiel des Achsenkreuzes wird es durch die disjunkte Vereinigung von zwei komplexen Geraden geleistet, die auf die beiden Achsen abbilden und sich im Ursprung vereinigen.

Fortsetzung von Nullstellengebilden

Bei einem durch ein Polynom definierten Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche ${}X$ treten Singularitäten auf. Diese kann man einfach ignorieren und herausnehmen, um eine riemannsche Fläche zu erhalten, ober aber man kann diese Punkte mit einer kleinen Umgebung durch Punkte in einer Kreisscheibe ersetzen. Ein anderes Problem ist die Frage, inwiefern man eine riemannsche Fläche mit einer endlichen Realisierung ${}Y\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer riemannschen Fläche über ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ fortsetzen kann. Man denke beispielsweise an die hyperelliptische Situation

{}Y=V{\left(W^{2}-f(Z)\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,

mit einem Polynom ${}f$ ohne mehrfache Nullstelle und der durch ${}Z$ gegebenen Projektion nach ${}{\mathbb {C} }$ , sieheLemma 9.5.Von der projektiven Geometrie her ist es ein naheliegender Ansatz, die Gleichung mit Hilfe einer neuen Variablen ${}U$ zu homogenisieren und dann das projekive Nullstellengebilde in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ zu betrachten. Wenn ${}f$ den Grad ${}3$ besitzt und in der Form ${}Z^{3}+rZ^{2}+sZ+t$ vorliegt, so ist die Homogenisierung gleich ${}W^{2}U-Z^{3}-rZ^{2}U-sZU^{2}-tU^{3}$ und dies definiert eine glatte Kurve, also eine riemannsche Fläche. Dabei kommt ein neuer Punkt hinzu. Wenn aber ${}f$ größeren Grad besitzt, so wird die Homogenisierung im allgemeinen singuläre Punkte besitzen, also keine Beschreibung einer riemannschen Fläche sein. Der folgende Fortsetzungssatz besagt, dass es in einer solchen Situation stets eine sinnvolle Fortsetzung als riemannsche Fläche gibt. Dabei wird keine Aussage über Beschreibungen mit Hilfe von Gleichungen gemacht.

Satz

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eineendliche holomorphe Abbildungzwischenriemannschen Flächen

${}X$ und ${}Y$ .Es sei ${}X\subseteq {\tilde {X}}$ eine offene Einbettungvon ${}X$ in einer riemannschen Fläche ${}{\tilde {X}}$ , wobei ${}D={\tilde {X}}\setminus X$ diskretsei.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte riemannsche Fläche ${}Y\subseteq {\tilde {Y}}$ und eine endliche holomorphe Abbildung

${\tilde {p}}\colon {\tilde {Y}}\longrightarrow {\tilde {X}},$

die ${}p$ fortsetzt.

Beweis

Es sei ${}P\in D\subseteq {\tilde {X}}$ und ${}P\in U$ eine offene Kreisscheibe, die keine weitere Punkte von ${}D$ und auch keine Verzweigungsbildpunkte von ${}p$ enthalte. Die eingeschränkte Abbildung

p\colon p^{-1}(U\setminus \{P\})\longrightarrow U\setminus \{P\}

ist endlich und unverzweigt, es liegt eine endliche Überlagerung der punktierten Kreisscheibe vor. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ die Zusammenhangskomponentenvon ${}p^{-1}(U\setminus \{P\})$ . Dann ist jedes

V_{i}\longrightarrow U\setminus \{P\}

eine endliche Überlagerung. Eine solche ist eine Potenzabbildung auf einer punktierten Kreisscheibe. Dabei kann man ${}V_{i}$ zu einer Kreisscheibe ${}{\tilde {V}}_{i}$ auffüllen und die Potenzabbildung als Abbildung von ${}{\tilde {V}}_{i}$ nach ${}U$ fortsetzen. Dies macht man für jedes ${}V_{i}$ und für alle Punkte aus ${}D$ .

\Box

In der Situation eines Nullstellengebildeszu einem Polynom über ${}X$ kann man (aufgrund vonLemma 14.7)Satz 14.11stets auf das unverzweigte Nullstellengebildeanwenden.

Definition

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad ${}k\geq 5$ und sei ${}Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion ${}p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ , ${}(z,w)\longmapsto z$ .Man nennt die Fortsetzung ${}{\tilde {Y}}$ von ${}Y$ (über ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ )im Sinne vonSatz 14.11diehyperelliptische riemannsche Fläche zu ${}f$ .

Hyperelliptische riemannsche Flächen sind kompakt. Sie sind insofern einfach, dass sie eine endliche holomorphe Abbildung von der Blätterzahl ${}2$ auf die projektive Gerade besitzen, ansonsten können sie beliebig kompliziert sind, beispielsweise gibt es zu jedem Geschlecht ${}\geq 2$ hyperelliptsche Flächen.

Lemma

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad ${}k\neq 1$ und sei ${}Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion ${}p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$ , ${}(z,w)\longmapsto z$ .Es sei ${}{\tilde {Y}}$ die zugehörigehyperelliptische riemannsche Flächemit der Projektion

{\tilde {p}}\colon {\tilde {Y}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}

Dann liegen über dem unendlich fernen Punkt ${}\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ bei ${}k$ ungerade ein Punkt und ${}{\tilde {p}}$ verzweigtdarin mit der Verzweigungsordnung ${}2$ und bei ${}k$ gerade zwei Punkte, in denen ${}{\tilde {p}}$ unverzweigt ist.

Beweis

Wir beschreiben die Situation im unendlich fernen Punkt. Es sei ${}u=z^{-1}$ ,wir multiplizieren die Gleichung ${}w^{2}=f(z)=a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ mit ${}z^{-k}$ und erhalten

{}{\begin{aligned}z^{-k}w^{2}&=f(z)z^{-k}\\&={\left(a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\right)}z^{-k}\\&=a_{k}+\cdots +a_{1}z^{-k+1}+a_{0}z^{-k}\\&=a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}\end{aligned}}

bzw. ${}w^{2}={\frac {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}{u^{k}}}$ ,wobei diese Beschreibung für ${}u\neq 0$ gilt. Bei ${}k$ ungerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde in einer punktierten Umgebung von ${}0$ aus einer Zusammenhangskomponente, da die rechte Seite kein Quadrat einer meromorphen Funktion in ${}u$ ist, bei ${}k$ gerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde aus zwei Zusammenhangskomponenten, da man

{}w={\frac {\pm {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}}{u^{m/2}}}\,

mit auf einer hinreichend kleinen Kreisscheibe um ${}0$ definierten Quadratwurzeln(wegen ${}a_{k}\neq 0$ )gemäßSatz 1.13schreiben kann. Diese Zusammenhangskomponenten legen nach dem Beweis zuSatz 14.11fest. Im ungeraden Fall liegt auf einer punktierten Kreisscheibe eine Abbildung der Blätterzahl ${}2$ vor, mit einem lokalen Parameter ${}t$ liegt die Abbildung ${}t^{2}=u$ vor und es ist

{}w={\frac {\sqrt {a_{0}t^{2k}+\cdots +a_{k}}}{t^{k}}}\,

eine lokale Beschreibung für ${}w$ . Bei ${}k$ gerade kann man ${}u$ jeweils als lokalen Parameter für die beide Kreisscheiben oben nehmen, und es ist

{}w={\frac {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}{u^{k/2}}}\,

eine lokale Beschreibung für ${}w$ .

\Box

Man beachte, dass die homogene Gleichung

{}W^{2}U^{k-2}={\tilde {f}}(Z,U)\,

keine Beschreibung der hyperelliptischen Kurve ist. Das durch diese Gleichung in der projektiven Ebene beschriebene Nullstellengebilde besitzt Singularitäten, die durch den inLemma 14.13beschriebenen Prozess eliminiert werden.

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