Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Liste der Hauptsätze
Es seieinezusammenhängendeoffene Teilmenge,ein Punkt und eine nichtkonstanteholomorphe Funktion.
Dann gibt es eine offene Umgebungderart, dass die Einschränkung von auf biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.
Das bedeutet, dass es einund biholomorphe Abbildungen
miteine offene Kreisscheibe um und eine Verschiebung
derart gibt, dass
auf gilt(wobei die Variable auf bezeichnet).
Es sei offenund sei
einestetig differenzierbare Abbildung.Es sei dieFaserüber einem Punkt. Dastotale Differential seisurjektivfür jeden Punkt.
Dann ist einekomplexe Mannigfaltigkeitder Dimension.
Es sei einezusammenhängenderiemannsche Flächeund sei
eine von der Nullfunktion verschiedeneholomorphe Funktionauf .
Dann ist die Nullstellenmenge von eine diskrete Teilmengevon .
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann gibt es auf nur die konstantenholomorphen Funktionen.
Es seien und riemannsche Flächenund seieinebijektiveholomorphe Abbildung.
Dann ist auch dieUmkehrabbildungholomorph.
Es seieine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischenzusammenhängendenriemannschen Flächen.
Dann ist offen.
Die reell-projektiven Räume sind reell-differenzierbare Mannigfaltigkeitenund die komplex-projektiven Räume sind komplexe Mannigfaltigkeiten.
Es seieinhomogenes Polynomvom Grad. Für jeden Punktsei zumindest eine partielle Ableitung ungleich .
Dann ist einekompakteriemannsche Fläche.
Es sei eine Überlagerung,einstetiger Wegund ein Punkt mit .
Dann gibt es genau einen stetigen Weg
mit der Eigenschaft, dassundist.
Es seieineÜberlagerung. Dabei sei hausdorffsch,lokal wegzusammenhängendundzusammenhängend.
Dann ist eineDecktransformation,die einen Fixpunktbesitzt, bereits die Identität.
Es seieine surjektivestetige Abbildungzwischen topologischen Räumenmit einHausdorffraumund lokal wegzusammenhängend. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist eine endliche Überlagerung.
- ist eine Überlagerungundendlich.
- ist einlokaler Homöomorphismus,derendlichist.
Zu einemGitter
ist diekanonische AbbildungeineÜberlagerungund der Quotientenraum ist in natürlicher Weise eine eindimensionale kompaktekomplexe Mannigfaltigkeit.Dabei wird zu einerholomorphen Abbildung.
Zu Gittern
ist der kanonischeGruppenhomomorphismus
eine endliche Überlagerung,derenFaserngleich sind. Die Gruppe derDecktransformationenist isomorph zu .
Eine nichtkonstante Polynomfunktion
ist eineendliche Abbildung.
Es seieine endlicheholomorphe Abbildungzwischen denriemannschen Flächen und mit zusammenhängend.
Dann ist die Summe konstant, also unabhängig von.
Zu einem Punktauf einerriemannschen Fläche ist derHalm der Strukturgarbe derholomorphen Funktionen
isomorphzum Ring der konvergenten Potenzreihenin einer Variablen.
Es sei eintopologischer Raum. Es sei
ein exakter Komplex von GarbenhomomorphismenvonGarbenvon kommutativen Gruppenauf .
Dann ist auch der Komplex
exakt.
DerAusbreitungsraumzur Garbederholomorphen Funktionenauf einerriemannschen Fläche
ist in eindeutiger Weise eine riemannsche Fläche derart, dasseineholomorphe Abbildungund einlokaler Homöomorphismusist.Die Auswertungsabbildung
ist eineholomorphe Funktionauf .
Es sei eineriemannsche Fläche,es seien holomorphe Funktionenauf und sei einholomorpher Funktionskeimim Punkt,der im Halm die algebraische Relation
erfülle.
Dann erfüllt jede analytische Fortsetzung von ebenfalls diese Relation.
Es sei eineriemannsche Flächemit demAusbreitungsraumzur Strukturgarbe.Es sei
einstetiger Wegmit,und seienundholomorphe Keimein den Endpunkten.
Genau dann ist eineanalytische Fortsetzungvon längs , wenn es eineLiftung
zu mitals Endpunkte gibt.
Es sei eineriemannsche Fläche,und einholomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenigeZusammenhangskomponente desAusbreitungsraumes zur Strukturgarbe,die den Punkt enthält, folgende Eigenschaften.
- Es gibt eine holomorphe Funktion,die den Keim (aufgefasst in )fortsetzt.
- Das Bild von
besteht aus allen Punkten ,für die es eine analytische Fortsetzung von zu einem Keim in gibt.
Es seieineendlicheholomorphe Abbildungzwischenriemannschen Flächen
und .Es seieine offene Einbettungvon in einer riemannschen Fläche , wobei diskretsei.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte riemannsche Flächeund eine endliche holomorphe Abbildung
die fortsetzt.
Auf einem komplexen Toruszu einem Gitter
sind dieholomorphen Differentialformengleich mit,wobei die durch die -invariante Differentialform auf induzierte Form auf bezeichnet.
Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf eindimensional.
Es sei eineriemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.
Es sei einedifferenzierbare Mannigfaltigkeitund einegeschlossene Differentialformauf mit Werten in . Es seien
stetige differenzierbarehomotope Wege.
Dann ist
Es sei einekompakteriemannsche Fläche,es sei
eine endliche Teilmenge in und eineholomorphe Differentialformauf .
Dann ist
Es sei eine zusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionenauf undholomorphen Abbildungenvon nach , die nicht konstant gleich sind.
Einer meromorphen Funktion wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion
ist und die die Polstellen von auf abbildet.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann ist der GradeinesHauptdivisorsgleich .
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann ist ein endlichdimensionaler-Vektorraum.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeundein Punkt.
Dann gibt es eine nichtkonstantemeromorphe Funktionauf , die außerhalb von holomorphist.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann gibt es eine surjektiveendlicheholomorphe Abbildung
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann ist der Körper dermeromorphen Funktionen eine endliche Körpererweiterungvom Körper der rationalen Funktionen.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche FlächevomGeschlecht und sei ein Divisorauf mit der zugehörigen invertierbaren Garbe .
Dann ist
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund eineinvertierbare Garbeauf .
Dann definiert die natürliche Abbildung
einevollständige Dualität.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann stimmt das kohomologische Geschlechtvon mit dem differentiellen Geschlechtvon überein.
Es seieine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denkompaktenzusammenhängendenriemannschen Flächen und .
Dann gilt für die Geschlechterdie Beziehung
Es seieine nichtkonstanteholomorphe Abbildung,wobei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächesei.
Dann ist ebenfalls die projektive Gerade.
Es sei eine zusammenhängendeglatteprojektive Kurveüber und sei die zugehörige kompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann stimmt das algebraisch definierte Geschlechtvon mit dem analytisch definierten Geschlechtvon überein.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.
Dann ist dieAbel-Jacobi-Abbildung
von derDivisorenklassengruppeauf vom Grad in die Jacobische Varietät einGruppenisomorphismus.