Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Definitionsliste

Eine auf einer offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$definierteFunktion

${\displaystyle f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

heißtholomorph, wenn siekomplex differenzierbarist.

Eintopologischer Hausdorff-Raum${\displaystyle {}M}$ zusammen mit eineroffenen Überdeckung${\displaystyle {}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$undHomöomorphismen

${\displaystyle \alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}}$

mit${\displaystyle {}V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$derart, dass dieÜbergangsabbildungen

${\displaystyle \alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

Diffeomorphismensind, heißtkomplexe Mannigfaltigkeitder Dimension ${\displaystyle {}n}$. Die Menge der Karten ${\displaystyle {}(U_{i},\alpha _{i})}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,nennt man auch denAtlasder Mannigfaltigkeit.

Eineriemannsche Fläche ist einekomplexe Mannigfaltigkeitder(komplexen)Dimension ${\displaystyle {}1}$.

Eine Funktion${\displaystyle {}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ heißtholomorph, wenn es eine offene Überdeckung

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,}$

mit Karten

${\displaystyle \alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }}$

derart gibt, dass

${\displaystyle f\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

holomorphsind.

Zu einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ mit

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

und spricht von der (globalen Auswertung der)Strukturgarbe auf ${\displaystyle {}X}$.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$riemannsche Flächenund sei

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

einestetige Abbildung.Man nennt ${\displaystyle {}\varphi }$ holomorph,wenn für jede offene Teilmenge${\displaystyle {}V\subseteq Y}$und jede holomorphe Funktion${\displaystyle {}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})}$die zusammengesetzte Funktion ${\displaystyle {}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}}$ holomorph ist.

Zwei riemannsche Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$heißenbiholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$und${\displaystyle {}\psi \colon Y\rightarrow X}$gibt mit${\displaystyle {}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}}$und${\displaystyle {}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}P\in M}$ein Punkt. Es seien

${\displaystyle \gamma _{1}\colon B_{1}\longrightarrow M}$

und

${\displaystyle \gamma _{2}\colon B_{2}\longrightarrow M}$

zwei auf offenen Bällen${\displaystyle {}0\in B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }}$definierteholomorphe Kurvenmit${\displaystyle {}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)}$.Dann heißen${\displaystyle {}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}}$tangential äquivalent in ${\displaystyle {}P}$, wenn es eine offene Umgebung${\displaystyle {}P\in U}$und eine Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

mit${\displaystyle {}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$derart gibt, dass

${\displaystyle {}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}P\in M}$ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an ${\displaystyle {}P}$ versteht man eineÄquivalenzklassevontangential äquivalentenholomorphen Kurvendurch ${\displaystyle {}P}$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

${\displaystyle T_{P}M}$

bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}P\in M}$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an ${\displaystyle {}P}$, geschrieben ${\displaystyle {}T_{P}M}$, versteht man die Menge derTangentialvektorenan ${\displaystyle {}P}$ versehen mit der durch eine beliebigeKartegegebenen komplexenVektorraumstruktur.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe MannigfaltigkeitderDimension${\displaystyle {}n}$ und

${\displaystyle {}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,}$

dasTangentialbündel,versehen mit der Projektionsabbildung

${\displaystyle \pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.}$

Das Tangentialbündel wird mit derjenigenTopologieversehen, bei der eine Teilmenge${\displaystyle {}W\subseteq TM}$genau dann offenist, wenn für jede Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

die Menge ${\displaystyle {}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}}$ offen in ${\displaystyle {}V\times \mathbb {R} ^{n}}$ ist.

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$komplexe Mannigfaltigkeitenund es sei

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

eineholomorphe Abbildung.Es sei ${\displaystyle {}P\in M}$ und ${\displaystyle {}Q=\varphi (P)}$.Dann nennt man die Abbildung

${\displaystyle T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],}$

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt ${\displaystyle {}P}$. Sie wird mit ${\displaystyle {}T_{P}(\varphi )}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.Der projektive ${\displaystyle {}n}$-dimensionale Raum ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{n}}$ besteht aus allen Geraden des ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten ${\displaystyle {}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})}$, wobei nicht alle${\displaystyle {}a_{i}=0}$sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar${\displaystyle {}\lambda \in K^{\times }}$ineinander übergehen.

Derkomplex-projektive Raum${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}}$ wird mit derQuotiententopologiezurKegelabbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}}$

versehen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zu einemhomogenen Polynom${\displaystyle {}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]}$bezeichnet man die Menge

${\displaystyle V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,}$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${\displaystyle {}F}$.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$topologische Räume.Einestetige Abbildung

${\displaystyle p\colon Y\longrightarrow X}$

heißtÜberlagerung,wenn es eine offene Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$und eine Familie diskretertopologischer Räume${\displaystyle {}F_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,derart gibt, dass ${\displaystyle {}p^{-1}(U_{i})}$ homöomorphzu ${\displaystyle {}U_{i}\times F_{i}}$ (versehen mit der Produkttopologie)ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${\displaystyle {}U_{i}}$ verträglich sind.

Eine stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

zwischentopologischen Räumen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt${\displaystyle {}x\in X}$eineoffene Umgebung${\displaystyle {}x\in U}$derart gibt, dass ${\displaystyle {}\varphi (U)}$ offen in ${\displaystyle {}Y}$ ist und dass die Einschränkung

${\displaystyle U\longrightarrow \varphi (U)}$

einHomöomorphismusist.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$topologische Räume.Zu einer stetigen Abbildung${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$und einem stetigen Weg

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow X}$

nennt man einen stetigen Weg

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y}$

mit

${\displaystyle {}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,}$

eine Liftungvon ${\displaystyle {}\gamma }$.

Es sei${\displaystyle {}p\colon E\rightarrow X}$eineÜberlagerungvon ${\displaystyle {}X}$. EinHomöomorphismus${\displaystyle {}f\colon E\rightarrow E}$ mit ${\displaystyle {}p\circ f=p}$ heißtDecktransformation der Überlagerung.

EineÜberlagerung

${\displaystyle p\colon Y\longrightarrow X}$

heißt normal, wenn es zu jedem Punkt${\displaystyle {}x\in X}$ und jedem Punktepaar${\displaystyle {}y_{1},y_{2}\in p^{-1}(x)}$ eine Decktransformation

${\displaystyle \varphi \colon Y\longrightarrow Y}$

mit${\displaystyle {}\varphi (y_{1})=y_{2}}$ gibt.

Eine Überlagerung${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$heißt endlich, wenn jede Fasereine endliche Menge ist.

Unter einemGitter in denkomplexen Zahlen${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ versteht man einvollständiges Gitter${\displaystyle {}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }}$.

Einetopologische Gruppe ist eineGruppe${\displaystyle {}G}$, die zugleich eintopologischer Raumist derart, dass die Verknüpfung

${\displaystyle G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,}$

und die Inversenbildung

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},}$

stetige Abbildungensind.

Unter einemkomplexen Torus versteht man denQuotientenraum${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }$ zu einemGitter${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Es sei${\displaystyle {}x\in X}$ein Punkt mit${\displaystyle {}y=\varphi (x)}$. Es sei ${\displaystyle {}z}$ ein lokaler Parameterum ${\displaystyle {}y}$. Dann nennt man die Nullstellenordnungder (in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}x}$ definierten)holomorphen Funktion${\displaystyle {}z\circ \varphi }$ im Punkt ${\displaystyle {}x}$ denVerzweigungsindexvon ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}x}$. Sie wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raum.Unter einerPrägarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ auf ${\displaystyle {}X}$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$eine Menge ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$ und zu je zwei offenen Mengen${\displaystyle {}U\subseteq V}$eine Abbildung

${\displaystyle \rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu${\displaystyle {}U=V}$ist

   ${\displaystyle {}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.}$

2. Zu offenen Mengen

   ${\displaystyle {}U\subseteq V\subseteq W\,}$

   ist stets

   ${\displaystyle {}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.}$

EinePrägarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ auf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ heißtPrägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$die Menge ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$ eineGruppeund zu jeder Inklusion${\displaystyle {}U\subseteq V}$die Restriktionsabbildung

${\displaystyle \rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$

einGruppenhomomorphismusist.

Zu einerPrägarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ auf einem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$ und einem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$nennt man

${\displaystyle {}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,}$

denHalmder Prägarbe im Punkt ${\displaystyle {}P}$.

Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$Prägarbenauf einem topologischen Raum ${\displaystyle {}X}$. EinMorphismus von Prägarben

${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}}$

ist eine Familie von Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)}$

für jede offene Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$derart, dass zu jeder offenen Inklusion${\displaystyle {}U\subseteq V}$das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

kommutiert.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raum.Unter einerGarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ auf ${\displaystyle {}X}$ versteht man einePrägarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ auf ${\displaystyle {}X}$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung${\displaystyle {}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$und Elementen${\displaystyle {}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$mit${\displaystyle {}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)}$für alle${\displaystyle {}i\in I}$gilt${\displaystyle {}s=t}$.
2. Zu jeder offenen Überdeckung${\displaystyle {}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$und Elementen${\displaystyle {}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}}$mit${\displaystyle {}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}}$für alle${\displaystyle {}i,j\in I}$gibt es ein${\displaystyle {}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$mit${\displaystyle {}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)}$für alle${\displaystyle {}i\in I}$.

EinGarbenmorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$zwischenGarbenauf einemtopologischer Raum${\displaystyle {}X}$ heißtsurjektiv, wenn für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$dieHalmabbildung

${\displaystyle \varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}}$

surjektivist.

Zu einerGarbe${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ vonkommutativen Gruppenund einerUntergarbevon Gruppen${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$nennt man dieVergarbungderPrägarbe${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$ dieQuotientengarbe zu${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$

EinexakterKomplex

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vonGarben von kommutativen Gruppenauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ heißtkurze exakte Sequenz.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ einePrägarbeauf einem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Unter dem Ausbreitungsraum zu ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ versteht man die Menge

${\displaystyle {}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }:=\biguplus _{x\in X}{\mathcal {G}}_{x}\,}$

zusammen mit der Projektion

${\displaystyle p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\longrightarrow X,}$

die einem jeden Keim${\displaystyle {}(x,t)}$ seinen Basispunkt ${\displaystyle {}x}$ zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch dieBasis

${\displaystyle {}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,}$

zu offenen Mengen${\displaystyle {}U\subseteq X}$und Schnitten${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}$definiert wird.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund sei${\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X}$ein stetiger Wegmit${\displaystyle {}\gamma (0)=x}$und${\displaystyle {}\gamma (1)=y}$.Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim${\displaystyle {}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}}$aus einem holomorphen Funktionskeim${\displaystyle {}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}}$durch analytische Fortsetzunglängs ${\displaystyle {}\gamma }$ hervorgeht, wenn es Punkte${\displaystyle {}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1}$,zusammenhängende offene Mengen${\displaystyle {}U_{i}\subseteq X}$mit${\displaystyle {}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}}$undholomorphe Funktionen${\displaystyle {}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$derart gibt, dass${\displaystyle {}f_{1}=f}$,${\displaystyle {}f_{n}=g}$und${\displaystyle {}f_{i}}$ und ${\displaystyle {}f_{i+1}}$in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}\gamma (t_{i})}$ übereinstimmen.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche,seien ${\displaystyle {}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}}$ holomorphe Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}}$das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus ${\displaystyle {}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})[T]}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}{\left\{(x,t)\in X\times {\mathbb {C} }\mid P(x,t)=0\right\}}\subseteq X\times {\mathbb {C} }\,}$

dasNullstellengebilde zu ${\displaystyle {}P}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche,seien ${\displaystyle {}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}}$ holomorphe Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }}$das Nullstellengebildezu${\displaystyle {}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}}$.Es sei${\displaystyle {}p\colon V\rightarrow X}$die Projektion auf ${\displaystyle {}X}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}{\tilde {V}}={\left\{v\in V\mid p^{-1}(p(v)){\text{ besteht aus }}n{\text{ Punkten}}\right\}}\subseteq V\,}$

das unverzweigte Nullstellengebilde zu ${\displaystyle {}P}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche,seien ${\displaystyle {}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}}$ holomorphe Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }}$das Nullstellengebildezu${\displaystyle {}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}}$.Es sei${\displaystyle {}p\colon V\rightarrow X}$die Projektion auf ${\displaystyle {}X}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}W={\left\{(x,t)\in V\mid {\frac {\partial P}{\partial T}}(x,t)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial a_{n-1}}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}}{\partial z}}\neq 0\right\}}\subseteq V\,}$

das glatte Nullstellengebilde zu ${\displaystyle {}P}$. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {}z}$ einen lokalen Parameterin einer offenen Umgebungvon ${\displaystyle {}x}$.

Es sei${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[Z]}$ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad${\displaystyle {}k\geq 5}$und sei${\displaystyle {}Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}}$die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion${\displaystyle {}p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, ${\displaystyle {}(z,w)\longmapsto z}$.Man nennt die Fortsetzung ${\displaystyle {}{\tilde {Y}}}$ von ${\displaystyle {}Y}$(über ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$)im Sinne vonSatz 14.11diehyperelliptische riemannsche Fläche zu ${\displaystyle {}f}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}P\in M}$ein Punkt. Man nennt den komplexenDualraumdesTangentialraumes${\displaystyle {}T_{P}M}$ an ${\displaystyle {}P}$ den(holomorphen)Kotangentialraum an ${\displaystyle {}P}$. Er wird mit

${\displaystyle {}T_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,}$

bezeichnet.

Eineholomorphe Differentialform auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ ist einholomorpher SchnittimKotangentialbündel${\displaystyle {}T^{*}X}$.

Auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ bezeichnet man mit

${\displaystyle {}{\mathcal {E}}{\left(M\right)}=C^{\infty }(M,{\mathbb {C} })={\left\{f:M\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ unendlich oft reell differenzierbar}}\right\}}\,}$

die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf ${\displaystyle {}M}$, die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbarsind.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeit.Unter einerdifferenzierbaren 1-Form auf ${\displaystyle {}M}$ versteht man eine ${\displaystyle {}C^{\infty }}$-Abbildung

${\displaystyle \omega \colon M\longrightarrow E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}}$

mit${\displaystyle {}\omega (P)\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einedifferenzierbare Mannigfaltigkeit.Eine${\displaystyle {}1}$-Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}M}$ heißt exakt, wenn es einedifferenzierbareFunktion ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}M}$ mit${\displaystyle {}df=\omega }$gibt.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einedifferenzierbare Mannigfaltigkeit.EinedifferenzierbareDifferentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}M}$ heißt geschlossen, wenn ihreäußere Ableitung ${\displaystyle {}d\omega =0}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einedifferenzierbare Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}\omega \in {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}}$ eine${\displaystyle {}1}$-Differentialform.Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow M}$

einestetig differenzierbare Kurve.Dann heißt

${\displaystyle {}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,}$

das Wegintegral von ${\displaystyle {}\omega }$ längs ${\displaystyle {}\gamma }$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Eine meromorphe Funktion auf ${\displaystyle {}X}$ ist gegeben durch einediskrete Menge${\displaystyle {}D\subseteq X}$und eine holomorphe Funktion

${\displaystyle f\colon X\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

derart, dass für jedes ${\displaystyle {}x\in D}$der Limes${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{y\rightarrow x}\,f(y)}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ existiert oder gleich ${\displaystyle {}\infty }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche,${\displaystyle {}U\subseteq X}$eine offene Teilmenge und${\displaystyle {}P\in U}$.Zu einermeromorphen Funktionauf ${\displaystyle {}U}$ mit derLaurent-Entwicklung${\displaystyle {}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ in ${\displaystyle {}P}$ nennt man ${\displaystyle {}\sum _{n=k}^{-1}c_{n}z^{n}}$ denHauptteil der Funktion in ${\displaystyle {}P}$.

Es sei ${\displaystyle {}U}$ eineriemannsche Fläche.Einemeromorphe Differentialform auf ${\displaystyle {}U}$ wird gegeben durch eineholomorphe Differentialformauf ${\displaystyle {}U\setminus D}$, wobei${\displaystyle {}D\subseteq U}$einediskrete Teilmengebezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in D}$lokal die Differentialform von der Form ${\displaystyle {}fdz}$ mit einer meromorphen Funktion${\displaystyle {}f}$ und mit einem lokalen Parameter ${\displaystyle {}z}$ in ${\displaystyle {}P}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine zusammenhängenderiemannsche Flächeund${\displaystyle {}f\neq 0}$einemeromorphe Funktionauf ${\displaystyle {}X}$. Dann nennt man die formale Summe

${\displaystyle \sum _{x\in X}\operatorname {ord} _{x}(f)\cdot x}$

denHauptdivisor zu ${\displaystyle {}f}$. Er wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine riemannsche Fläche.Man nennt eine formale Summe

${\displaystyle \sum _{x\in X}n_{x}\cdot x}$

mit${\displaystyle {}n_{x}\in \mathbb {Z} }$und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge${\displaystyle {}T\subset X}$die Zahlen${\displaystyle {}n_{x}=0}$sind, einenDivisor auf ${\displaystyle {}X}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächemit dem Körper ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}}$ dermeromorphen Funktionen.Man nennt dieRestklassengruppe

${\displaystyle \operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)}$

dieDivisorenklassengruppe von ${\displaystyle {}X}$. Sie wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.Man nennt

${\displaystyle {}\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}=\operatorname {Div} _{0}\,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,}$

dieDivisorenklassengruppe vom Grad 0 zu ${\displaystyle {}X}$.

Zu einermeromorphen Differentialform${\displaystyle {}\omega \neq 0}$auf einerzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ definiert man den zugehörigen Divisor durch

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(\omega \right)}=\sum _{P\in X}n_{P}P\,}$

mit${\displaystyle {}n_{P}=\operatorname {ord} _{P}\,(f)}$,wenn ${\displaystyle {}\omega =fdz}$eine lokale Beschreibung der Form mit einermeromorphen Funktion${\displaystyle {}f}$ ist.

Ein${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modul${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}}$ heißtinvertierbar, wenn es eine offene Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$derart gibt, dass die Einschränkungen ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}}$ isomorphzu ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund ${\displaystyle {}D}$ einDivisorauf ${\displaystyle {}X}$. Dann nennt man die durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}(U):={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\,}$

die zu ${\displaystyle {}D}$ zugehörige invertierbare Garbe.

Zu einerkompaktenzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ nennt man ${\displaystyle {}\dim _{\mathbb {C} }{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\right)}}$ dasGeschlecht von ${\displaystyle {}X}$.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Man nennt denDivisor${\displaystyle {}R}$, der für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$die Ordnung

${\displaystyle {}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,}$

zugewiesen bekommt, denVerzweigungsdivisor von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund sei ${\displaystyle {}{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}}$ derDualraumdes Raumes der globalenholomorphen Differentialformenauf ${\displaystyle {}X}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}\operatorname {Per} :={\left\{\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\subseteq {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\,}$

dasPeriodengitter von ${\displaystyle {}X}$.

Zu einerkompaktenzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ nennt man

${\displaystyle {}J(X):={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} \,,}$

wobei ${\displaystyle {}\operatorname {Per} }$ dasPeriodengitterbezeichnet, dieJacobische Varietät zu ${\displaystyle {}X}$.