Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Definitionsabfrage
Eine auf einer offenen MengedefinierteFunktion
heißtholomorph, wenn siekomplex differenzierbarist.
Eintopologischer Hausdorff-Raum zusammen mit eineroffenen ÜberdeckungundHomöomorphismen
mitderart, dass dieÜbergangsabbildungen
Diffeomorphismensind, heißtkomplexe Mannigfaltigkeitder Dimension . Die Menge der Karten , ,nennt man auch denAtlasder Mannigfaltigkeit.
Eineriemannsche Fläche ist einekomplexe Mannigfaltigkeitder(komplexen)Dimension .
Eine Funktionauf einerriemannschen Fläche heißtholomorph, wenn es eine offene Überdeckung
mit Karten
derart gibt, dass
holomorphsind.
Zu einerriemannschen Fläche bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionenauf mit
und spricht von der (globalen Auswertung der)Strukturgarbe auf .
Es seien und riemannsche Flächenund sei
einestetige Abbildung.Man nennt holomorph,wenn für jede offene Teilmengeund jede holomorphe Funktiondie zusammengesetzte Funktion holomorph ist.
Zwei riemannsche Flächen und heißenbiholomorph, wenn es holomorphe Abbildungenundgibt mitund.
Es sei einekomplexe Mannigfaltigkeitundein Punkt. Es seien
und
zwei auf offenen Bällendefinierteholomorphe Kurvenmit.Dann heißen und tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebungund eine Karte
mitderart gibt, dass
gilt.
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeitundein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an versteht man eineÄquivalenzklassevontangential äquivalentenholomorphen Kurvendurch . Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
bezeichnet.
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeitund ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an , geschrieben , versteht man die Menge derTangentialvektorenan versehen mit der durch eine beliebigeKartegegebenen komplexenVektorraumstruktur.
Es sei einekomplexe MannigfaltigkeitderDimension und
dasTangentialbündel,versehen mit der Projektionsabbildung
Das Tangentialbündel wird mit derjenigenTopologieversehen, bei der eine Teilmengegenau dann offenist, wenn für jede Karte
die Menge offen in ist.
Es seien und komplexe Mannigfaltigkeitenund es sei
eineholomorphe Abbildung.Es sei und .Dann nennt man die Abbildung
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper.Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht allesein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalarineinander übergehen.
Derkomplex-projektive Raum wird mit derQuotiententopologiezurKegelabbildung
versehen.
Es sei ein Körper. Zu einemhomogenen Polynombezeichnet man die Menge
als die projektive Nullstellenmenge zu .
Es seien und topologische Räume.Einestetige Abbildung
heißtÜberlagerung,wenn es eine offene Überdeckungund eine Familie diskretertopologischer Räume, ,derart gibt, dass homöomorphzu (versehen mit der Produkttopologie)ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.
Eine stetige Abbildung
zwischentopologischen Räumen und heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkteineoffene Umgebungderart gibt, dass offen in ist und dass die Einschränkung
einHomöomorphismusist.
Es seien und topologische Räume.Zu einer stetigen Abbildungund einem stetigen Weg
nennt man einen stetigen Weg
mit
eine Liftungvon .
Es seieineÜberlagerungvon . EinHomöomorphismus mit heißtDecktransformation der Überlagerung.
EineÜberlagerung
heißt normal, wenn es zu jedem Punkt und jedem Punktepaar eine Decktransformation
mit gibt.
Eine Überlagerungheißt endlich, wenn jede Fasereine endliche Menge ist.
Unter einemGitter in denkomplexen Zahlen versteht man einvollständiges Gitter.
Einetopologische Gruppe ist eineGruppe, die zugleich eintopologischer Raumist derart, dass die Verknüpfung
und die Inversenbildung
stetige Abbildungensind.
Unter einemkomplexen Torus versteht man denQuotientenraum zu einemGitter.
Es seieine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen und .Es seiein Punkt mit. Es sei ein lokaler Parameterum . Dann nennt man die Nullstellenordnungder (in einer offenen Umgebung von definierten)holomorphen Funktion im Punkt denVerzweigungsindexvon in . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein topologischer Raum.Unter einerPrägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Mengeeine Menge und zu je zwei offenen Mengeneine Abbildung
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
- Zuist
- Zu offenen Mengen
ist stets
EinePrägarbe auf einemtopologischen Raum heißtPrägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Mengedie Menge eineGruppeund zu jeder Inklusiondie Restriktionsabbildung
einGruppenhomomorphismusist.
Zu einerPrägarbe auf einem topologischen Raum und einem Punktnennt man
denHalmder Prägarbe im Punkt .
Es seien und Prägarbenauf einem topologischen Raum . EinMorphismus von Prägarben
ist eine Familie von Abbildungen
für jede offene Mengederart, dass zu jeder offenen Inklusiondas Diagramm
kommutiert.
Es sei ein topologischer Raum.Unter einerGarbe auf versteht man einePrägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
- Zu jeder offenen Überdeckungund Elementenmitfür allegilt.
- Zu jeder offenen Überdeckungund Elementenmitfür allegibt es einmitfür alle.
EinGarbenmorphismuszwischenGarbenauf einemtopologischer Raum heißtsurjektiv, wenn für jeden PunktdieHalmabbildung
surjektivist.
Zu einerGarbe vonkommutativen Gruppenund einerUntergarbevon Gruppennennt man dieVergarbungderPrägarbe dieQuotientengarbe zu
EinexakterKomplex
vonGarben von kommutativen Gruppenauf einemtopologischen Raum heißtkurze exakte Sequenz.
Es sei einePrägarbeauf einem topologischen Raum. Unter dem Ausbreitungsraum zu versteht man die Menge
zusammen mit der Projektion
die einem jeden Keim seinen Basispunkt zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch dieBasis
zu offenen Mengenund Schnittendefiniert wird.
Es sei eineriemannsche Flächeund seiein stetiger Wegmitund.Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeimaus einem holomorphen Funktionskeimdurch analytische Fortsetzunglängs hervorgeht, wenn es Punkte,zusammenhängende offene Mengenmitundholomorphe Funktionenderart gibt, dass,und und in einer offenen Umgebung von übereinstimmen.
Es sei eineriemannsche Fläche,seien holomorphe Funktionenauf und seidas durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus . Dann nennt man
dasNullstellengebilde zu .
Es sei eineriemannsche Fläche,seien holomorphe Funktionenauf und seidas Nullstellengebildezu.Es seidie Projektion auf . Dann nennt man
das unverzweigte Nullstellengebilde zu .
Es sei eineriemannsche Fläche,seien holomorphe Funktionenauf und seidas Nullstellengebildezu.Es seidie Projektion auf . Dann nennt man
das glatte Nullstellengebilde zu . Hierbei bezeichnet einen lokalen Parameterin einer offenen Umgebungvon .
Es seiein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Gradund seidie zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion, .Man nennt die Fortsetzung von (über )im Sinne vonSatz 14.11diehyperelliptische riemannsche Fläche zu .
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeitundein Punkt. Man nennt den komplexenDualraumdesTangentialraumes an den(holomorphen)Kotangentialraum an . Er wird mit
bezeichnet.
Eineholomorphe Differentialform auf einerriemannschen Fläche ist einholomorpher SchnittimKotangentialbündel.
Auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet man mit
die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf , die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbarsind.
Es sei einekomplexe Mannigfaltigkeit.Unter einerdifferenzierbaren 1-Form auf versteht man eine -Abbildung
mit.
Es sei einedifferenzierbare Mannigfaltigkeit.Eine-Differentialform auf heißt exakt, wenn es einedifferenzierbareFunktion auf mitgibt.
Es sei einedifferenzierbare Mannigfaltigkeit.EinedifferenzierbareDifferentialform auf heißt geschlossen, wenn ihreäußere Ableitung ist.
Es sei einedifferenzierbare Mannigfaltigkeitund eine-Differentialform.Es sei
einestetig differenzierbare Kurve.Dann heißt
das Wegintegral von längs .
Es sei eineriemannsche Fläche.Eine meromorphe Funktion auf ist gegeben durch einediskrete Mengeund eine holomorphe Funktion
derart, dass für jedes der Limes in existiert oder gleich ist.
Es sei eineriemannsche Fläche,eine offene Teilmenge und.Zu einermeromorphen Funktionauf mit derLaurent-Entwicklung in nennt man denHauptteil der Funktion in .
Es sei eineriemannsche Fläche.Einemeromorphe Differentialform auf wird gegeben durch eineholomorphe Differentialformauf , wobeieinediskrete Teilmengebezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punktlokal die Differentialform von der Form mit einer meromorphen Funktion und mit einem lokalen Parameter in ist.
Es sei eine zusammenhängenderiemannsche Flächeundeinemeromorphe Funktionauf . Dann nennt man die formale Summe
denHauptdivisor zu . Er wird mit bezeichnet.
Es sei eine riemannsche Fläche.Man nennt eine formale Summe
mitund der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmengedie Zahlensind, einenDivisor auf .
Es sei einezusammenhängenderiemannsche Flächemit dem Körper dermeromorphen Funktionen.Man nennt dieRestklassengruppe
dieDivisorenklassengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.Man nennt
dieDivisorenklassengruppe vom Grad 0 zu .
Zu einermeromorphen Differentialformauf einerzusammenhängendenriemannschen Fläche definiert man den zugehörigen Divisor durch
mit,wenn eine lokale Beschreibung der Form mit einermeromorphen Funktion ist.
Ein-Modul auf einerriemannschen Fläche heißtinvertierbar, wenn es eine offene Überdeckungderart gibt, dass die Einschränkungen isomorphzu sind.
Es sei eineriemannsche Flächeund einDivisorauf . Dann nennt man die durch
die zu zugehörige invertierbare Garbe.
Zu einerkompaktenzusammenhängendenriemannschen Fläche nennt man dasGeschlecht von .
Es seieine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denzusammenhängendenriemannschen Fläche und .Man nennt denDivisor, der für jeden Punktdie Ordnung
zugewiesen bekommt, denVerzweigungsdivisor von .
Es sei einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund sei derDualraumdes Raumes der globalenholomorphen Differentialformenauf . Dann nennt man
dasPeriodengitter von .
Zu einerkompaktenzusammenhängendenriemannschen Fläche nennt man
wobei dasPeriodengitterbezeichnet, dieJacobische Varietät zu .