Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 9

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ in einem Punkt${\displaystyle {}x\in X}$genau dannverzweigtist, wenn die Tangentialabbildung

${\displaystyle T_{x}X\longrightarrow T_{\varphi (x)}Y}$

die Nullabbildung ist.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Zeige, dass derVerzweigungsortvon ${\displaystyle {}\varphi }$ diskretist.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine endlicheholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Zeige, dass dasVerzweigungsbildvon ${\displaystyle {}\varphi }$ diskretin ${\displaystyle {}Y}$ ist.

Man charakterisiere für ein Polynom

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

denVerzweigungsort,die Verzweigungsordnungenin den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Bestimme für das Polynom

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}+3z+1,}$

denVerzweigungsort,die Verzweigungsordnungenin den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Es sei

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

ein nichtkonstantes Polynom und ${\displaystyle {}b\in {\mathbb {C} }}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}b}$ genau dann zumVerzweigungsbildvon ${\displaystyle {}P}$ gehört, wenn in der Linearfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}P-b}$ zumindest ein Linearfaktor mehrfach vorkommt.

Es sei

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

ein nichtkonstantes Polynom und ${\displaystyle {}b\in {\mathbb {C} }}$.Es sei

${\displaystyle {}P-b=(Z-a_{1})^{r_{1}}(Z-a_{2})^{r_{2}}\cdots (Z-a_{m})^{r_{m}}\,}$

die Zerlegung in Linearfaktoren mit verschiedenen ${\displaystyle {}a_{j}}$. Wie sieht das Urbild ${\displaystyle {}P^{-1}(U)}$ für eine hinreichend kleineoffene Umgebung${\displaystyle {}a\in U}$aus und auf welche Gestalt kann man die Einschränkung

${\displaystyle P{|}_{P^{-1}(U)}\colon P^{-1}(U)\longrightarrow U}$

bringen?

Man gebe ein Beispiel für ein Polynom${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[Z]}$derart, dass die zugehörige Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

in ${\displaystyle {}5}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung${\displaystyle {}3}$, in ${\displaystyle {}4-{\mathrm {i} }}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${\displaystyle {}2}$ besitzt und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?

Man gebe ein Beispiel für ein Polynom${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[Z]}$derart, dass die zugehörige Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

in ${\displaystyle {}1}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung${\displaystyle {}2}$, in ${\displaystyle {}2+{\mathrm {i} }}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${\displaystyle {}2}$, in ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung ${\displaystyle {}3}$ besitzt, und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?

Man gebe ein Beispiel für eineholomorphe Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$zwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$mit der Eigenschaft, dass dasVerzweigungsbildvon ${\displaystyle {}\varphi }$ nichtdiskretin ${\displaystyle {}Y}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine endlicheholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Zeige, dass es zu jedem stetigen Weg

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow Y}$

und einen Punkt${\displaystyle {}x\in X}$mit${\displaystyle {}\varphi (x)=\gamma (0)}$einestetige Liftung

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow X}$

mit${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}(0)=x}$gibt. Zeige ferner, dass die Liftung nicht eindeutig sein muss.

Es sei

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},}$

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}}$ zum linearen Weg

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t,}$

mit der Anfangsbedingung${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}(-1)={\mathrm {i} }}$.Ist die Liftung eindeutig?

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine endlicheholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Zeige, dass es zu einerholomorphen Kurve

${\displaystyle \theta \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow Y}$

im Allgemeinen keine stetige Liftung

${\displaystyle {\tilde {\theta }}\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow X}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$eineoffene Kreisscheibeund ${\displaystyle {}Y}$ die disjunkte Vereinigung einer Kreisscheibe mit einer punktierten Kreisscheibezusammen mit der natürlichen Abbildung ${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow U}$. Zeige, dass

${\displaystyle p^{-1}(U\setminus \{0\})\longrightarrow U\setminus \{0\}}$

eine holomorpheÜberlagerungist und dass es dazu eineDecktransformationgibt, die man nicht auf ganz ${\displaystyle {}Y}$ ausdehnen kann.

Zeige, dass manLemma 6.16nicht auf Decktransformationen zu einer endlichenholomorphen Abbildung${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$übertragen kann.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine endlicheholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Es sei${\displaystyle {}V\subseteq Y}$eine nichtleereoffene Teilmengemit der zugehörigen Einschränkung

${\displaystyle \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V.}$

Zeige, dass die

${\displaystyle \operatorname {Deck} {\left(X{|}Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Deck} {\left(\varphi ^{-1}(V){|}V\right)},\,\theta \longmapsto \theta {|}_{\varphi ^{-1}(V)},}$

injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine endlicheholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.Zeige, dass eineDecktransformation

${\displaystyle \theta \colon X\longrightarrow X}$

einen Punkt ${\displaystyle {}x}$ mit Verzweigungsordnung${\displaystyle {}n}$ auf einen Punkt mit der Verzweigungsordnung ${\displaystyle {}n}$ abbildet.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-z+1.}$

Zeige, dass es keine nichttrivialeDecktransformationzu dieser Abbildung gibt. Konstruiere daraus eine ÜberlagerungmitBlätterzahl${\displaystyle {}3}$, derenDecktransformationsgruppetrivial ist und die somit nichtnormalist.