Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 4

Es sei${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein Punkt und sei${\displaystyle {}I={]{-1},1[}}$. Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.}$

Wir nennen zweiKurven${\displaystyle {}f,g\in M}$tangential äquivalent, wenn

${\displaystyle {}f'(0)=g'(0)\,}$

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelationist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für dieÄquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen(also dieQuotientenmenge).

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor${\displaystyle {}v\in T_{P}S^{2}}$in einem Punkt ${\displaystyle {}P}$ auf der Einheitssphäredurch einen „uniformen“differenzierbaren Wegauf einem Großkreisrealisieren kann.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einedifferenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle {}P\in M}$. Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow M}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$ und ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$ im Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{P}M}$ die Beziehung

${\displaystyle {}a[\gamma ]=[\lambda ]\,}$

${\displaystyle {}\lambda }$

${\displaystyle {}\lambda (t):=\gamma (at)}$

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen

${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M}$

mit ${\displaystyle {}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M}$, die man durch eine Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

mit ${\displaystyle {}\alpha (P)=0}$ aus der Addition im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.

Es sei${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$offen,${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$einedifferenzierbare Abbildungund ${\displaystyle {}M}$ dieFaserüber${\displaystyle {}0\in \mathbb {R} ^{m}}$.Es sei vorausgesetzt, dass dastotale Differentialin jedem Punkt dieser Faser surjektivsei. Zeige, dass für${\displaystyle {}P\in M}$ der Tangentialraumim Sinne von Definition 53.7 mit demTangentialraumderdifferenzierbaren Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ übereinstimmt.

Wir betrachten dieholomorphe Kurve

${\displaystyle \gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(\exp t,\,\sin t\right),}$

im Punkt${\displaystyle {}t=0}$.Bestimme eine affin-lineare Kurve

${\displaystyle \delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},}$

die im Punkt ${\displaystyle {}\gamma (0)}$ tangential äquivalentzu ${\displaystyle {}\gamma }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionalerVektorraumüber denkomplexen Zahlen${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-lineare Abbildung.Wir betrachten ${\displaystyle {}V}$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf ${\displaystyle {}\varphi }$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit ${\displaystyle {}\psi }$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

${\displaystyle {}\vert {\det \varphi }\vert ^{2}=\det \psi \,}$

besteht.