Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 28

Es sei${\displaystyle {}f=z^{2}(z-1)^{3}(z-5)^{2}}$.Bestimme dieQuotientengarbezum injektiven Modulhomomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} },\,1\longmapsto f.}$

Bestimme dieQuotientengarbezum Polynom${\displaystyle {}f=(z-2)(z-3)^{2}(z-{\mathrm {i} })^{3}(z-5)}$, aufgefasst alsModulhomomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(7\cdot \{\infty \}).}$

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächeund seien ${\displaystyle {}{\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$ invertierbare Garbenauf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$einModulhomomorphismus.Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\theta }$ ist nicht die Nullabbildung.
2. ${\displaystyle {}\theta }$ istinjektiv.
3. Über ${\displaystyle {}\theta }$ ist ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eine Untergarbevon ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$.

Es sei${\displaystyle {}D=\sum _{P\in X}n_{P}P}$eineffektiver Divisorauf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D)}$ die zugehörige invertierbare Garbemit dem zum Divisor gehörigenModulhomomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Zeige, dass derHalmder Quotientengarbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D)/{\mathcal {O}}_{X}}$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}P}$ ein${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Vektorraumder Dimension${\displaystyle {}n_{P}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund sei ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare GarbevomGrad${\displaystyle {}0}$. Ferner besitze ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ einen nichttrivialen Schnitt. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ dieStrukturgarbeist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund seien ${\displaystyle {}{\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$invertierbare Garbenvom gleichenGrad.Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$einModulhomomorphismus.Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ einIsomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche FlächevomGeschlecht${\displaystyle {}g}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare Garbeauf ${\displaystyle {}X}$ mit einem globalen Schnitt${\displaystyle {}s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$,${\displaystyle {}s\neq 0}$.Zeige

${\displaystyle {}h^{1}(X,{\mathcal {L}})\leq g\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}}$ eineIdealgarbe${\displaystyle {}\neq 0,{\mathcal {O}}_{X}}$ auf einerkompaktenzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ vomGeschlecht${\displaystyle {}g}$. Berechne dieDimensionvon ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {I}})}$.

Bestimme mitdem Satz von Riemann-Rochdie Dimensionen${\displaystyle {}h^{0}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {L}})}$ und ${\displaystyle {}h^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {L}})}$für sämtlicheinvertierbare Garbenauf derprojektiven Geraden.