Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 20

Bestimme auf derprojektiven Geraden${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ die Divisorenzu den folgenden meromorphen Funktionenund meromorphen Differentialformen.

1. ${\displaystyle {}z}$ und ${\displaystyle {}dz}$.
2. ${\displaystyle {}z^{n}}$ und ${\displaystyle {}dz^{n}}$.
3. ${\displaystyle {}z^{2}-z}$ und ${\displaystyle {}d{\left(z^{2}-z\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund ${\displaystyle {}\omega }$ eine meromorphe Differentialformauf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\omega }$ genau dann holomorph ist, wenn der zugehörigeDivisoreffektivist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Zeige, dass die Divisorenzu meromorphen Differentialformenfolgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sindlinear äquivalent.
2. Für eine meromorphe Differentialform${\displaystyle {}\omega \neq 0}$und einemeromorphe Funktion${\displaystyle {}f\neq 0}$ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\omega \right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(\omega \right)}\,.}$

3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion ${\displaystyle {}f}$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}=\operatorname {div} {\left(f\right)}_{P}-1\,.}$

   Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung

   ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}\geq 0\,.}$

Zeige, dass für eineendlicheholomorphe Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

zwischenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$und einerholomorphen Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}Y}$ mit dem zugehörigenDivisor${\displaystyle {}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}}$derzurückgezogene Divisor${\displaystyle {}\varphi ^{*}D}$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ ist.

Zeige, dass für eineendlicheholomorphe Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

zwischenkompaktenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$und einermeromorphen Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}Y}$ mit dem zugehörigenDivisor${\displaystyle {}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}}$derzurückgezogene Divisor${\displaystyle {}\varphi ^{*}D}$ im Allgemeinen nicht der Divisor(und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ ein${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modulauf einemberingten Raum${\displaystyle {}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}}$. Zeige, dass zu jedem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$derHalm${\displaystyle {}{\mathcal {F}}_{P}}$ ein${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X,P}}$-Modulist.

Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modulnauf einemberingten Raum${\displaystyle {}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}}$. Zeige, dass dann auch diedirekte Summe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}}$ ein ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modul ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ ein${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modulauf einemberingten Raum${\displaystyle {}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}}$ und${\displaystyle {}{\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ein${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Untermodul.Zeige, dass die Quotientengarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}}$ in natürlicher Weise ein ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modul ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}}$ einberingter Raumund sei ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ ein${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$-Modulauf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dassglobale Schnitte${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}}$Anlass zu einem eindeutig bestimmtenModulhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i},}$

geben.

Es sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ einberingter Raumund seien${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {N}}}$Modulgarbenauf ${\displaystyle {}X}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {N}}}$

einGarbenmorphismusund es sei${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Abbildungen

   ${\displaystyle \varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}}$

   für alle ${\displaystyle {}i}$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

   ${\displaystyle \varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.}$

2. Wenn die

   ${\displaystyle \varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}}$

   für alle ${\displaystyle {}i}$ mit den ${\displaystyle {}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$-Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

   ${\displaystyle \varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.}$

3. Wenn die

   ${\displaystyle \varphi {|}_{U_{i}}\colon {\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U_{i}}}$

   ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}}$-Modulhomomorphismenfür alle ${\displaystyle {}i}$ sind, so gilt dies auch für ${\displaystyle {}\varphi }$.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare Garbeauf einemberingten Raum${\displaystyle {}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Zeige, dass dieduale Garbe${\displaystyle {}{\mathcal {L}}^{*}}$ ebenfalls invertierbar ist.

Es sei${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$invertierbare Garbenauf einemberingten Raum${\displaystyle {}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Zeige, dass dieTensorierung${\displaystyle {}{\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}}$ ebenfalls invertierbar ist.

Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$invertierbare Garbenauf einemberingten Raum${\displaystyle {}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ und sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$ einsurjektiverModulhomomorphismus.Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ einIsomorphismusist.

Zeige, dass dieHalmezu einer beliebigeninvertierbaren Garbe${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ auf einer beliebigen riemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ in einem beliebigen Punkt stets zueinanderisomorphsind.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche,${\displaystyle {}D}$ einDivisorund ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D)}$ die zugehörige invertierbare Garbe.Zeige, dass ${\displaystyle {}D}$ genau danneffektivist, wenn ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D)}$ einen nichttrivialen globalen Schnitt besitzt.

Zeige, dass einDivisor${\displaystyle {}D}$ auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ genau dann einkanonischer Divisorist, wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der holomorphen Differentialformenist.

Zeige, dass auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ jede invertierbareUntergarbeder Garbe der meromorphen Funktionenvon einemDivisorherrührt.

Es sei${\displaystyle {}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ein Punkt derprojektiven Geradenund${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$.

1. Zeige, dass die zugehörigeinvertierbare Garbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)}$ unabhängig vom Punkt ${\displaystyle {}P}$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)}$.
2. Bestimme eine Basisdes Vektorraumes ${\displaystyle {}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}}$ als Untervektorraum von

   ${\displaystyle {}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.}$

3. Bestimme dieDimensionvon ${\displaystyle {}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächeund ${\displaystyle {}D}$ einDivisorauf ${\displaystyle {}D}$. Zu${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$betrachten wir dieinvertierbaren Garben${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(nD)}$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen).Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${\displaystyle {}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}}$und${\displaystyle {}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}}$ist${\displaystyle {}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}}$.
2. Die Vereinigung${\displaystyle {}R_{D}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}}$ist einUnterringvon ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}}$.
3. Es sei ${\displaystyle {}D}$ eineffektiver Divisorauf ${\displaystyle {}X}$ mit den Trägerpunkten ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{k}}$. Dann ist

   ${\displaystyle {}R_{D}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächeund ${\displaystyle {}D}$ einDivisorauf ${\displaystyle {}D}$. Zu${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$betrachten wir dieinvertierbaren Garben${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(nD)}$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen).Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${\displaystyle {}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}}$und${\displaystyle {}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}}$ist${\displaystyle {}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}}$.
2. Die direkte Summe${\displaystyle {}A_{D}:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}}$ist eine kommutative${\displaystyle {}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$-Algebra.
3. Die Algebra ${\displaystyle {}A_{D}}$ ist ein Unterring desPolynomrings${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}[T]}$.