Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 15

Schreibe die folgendenholomorphen Differentialformenauf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ in der Standardform ${\displaystyle {}fdz}$ mit einer holomorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

1. ${\displaystyle {}d\sin z}$,
2. ${\displaystyle {}{\left(z^{2}-5z+{\mathrm {i} }\right)}d{\left(z^{3}-{\mathrm {i} }z+5\right)}}$,
3. ${\displaystyle {}{\left(\exp z\right)}d{\left(\exp z\right)}}$.

Schreibe die folgendenholomorphen Differentialformenauf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ in der Form ${\displaystyle {}df}$ mit einer holomorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

1. ${\displaystyle {}\sin zdz}$,
2. ${\displaystyle {}{\left(z^{3}+4z^{2}-{\mathrm {i} }z+3\right)}dz}$,
3. ${\displaystyle {}{\left(\exp z\right)}d{\left(z^{2}-z+1\right)}}$.

Zeige, dass man die holomorphe Differentialform${\displaystyle {}{\frac {1}{z}}dz}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }}$ nicht in der Form ${\displaystyle {}df}$ mit einer holomorphen Funktion${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }}$ schreiben kann.

Zeige, dass auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ dieholomorphen DifferentialformeneineGarbe von kommutativen Gruppenbilden.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Zeige, dass der Ableitungsoperator

${\displaystyle d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,}$

folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${\displaystyle {}d(f+g)=df+dg}$.
2. Es ist${\displaystyle {}daf=adf}$für${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$.
3. Es gilt die Produktregel

   ${\displaystyle {}dfg=fdg+gdf\,.}$

4. Für ${\displaystyle {}f}$ nullstellenfrei ist

   ${\displaystyle {}df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.Zeige, dass die Ableitung

${\displaystyle d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,}$

genau dann surjektiv ist, wenn${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}=0}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine riemannsche Fläche.Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm vonGarben von kommutativen Gruppenauf ${\displaystyle {}X}$ mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &0&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}&\longrightarrow &\Omega _{X}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }^{\times }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}^{\times }&\longrightarrow &\Omega _{X}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&0&&0&&0&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz ausLemma 15.8und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz ausBeispiel 12.3und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleicheBeispiel 11.14.In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}f^{-1}df}$ abbildet.

Zeige, dass für eine höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeitdie Sequenz ausLemma 15.8nicht exakt ist.

Es sei${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[Z]}$ein Polynom vomGrad${\displaystyle {}m}$ ohne mehrfache Nullstelle und sei${\displaystyle {}V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}}$die zugehörige riemannsche Wurzelfläche und ${\displaystyle {}X}$ die zugehörigekompakteriemannsche Fläche im Sinne vonSatz 14.11bzw.Lemma 14.13.Zeige, dass die holomorphe Differentialformen${\displaystyle {}{\frac {z^{j}dz}{w}}}$ für${\displaystyle {}j=0,\ldots ,\left\lfloor {\frac {m-3}{2}}\right\rfloor }$ auf ${\displaystyle {}V}$, sieheLemma 15.10,holomorphe Differentialformen auf ganz ${\displaystyle {}X}$ sind.

Es seien${\displaystyle {}U,V\subseteq {\mathbb {C} }}$offene Mengenund

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow V,\,w\longmapsto \varphi (w)=z,}$

eine holomorphe Funktion.Es sei${\displaystyle {}\omega =fdz}$ eineholomorphe Differentialformauf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass für den Rückzugvon ${\displaystyle {}\omega }$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$ die Beziehung

${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega ={\left(f\circ \varphi \right)}d{\left(z\circ \varphi \right)}=f(\varphi (w))\cdot \varphi '(w)dw\,}$

gilt.

Es seien ${\displaystyle {}X,Y}$ riemannsche Flächenund sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eineholomorphe Abbildung.Es sei ${\displaystyle {}\omega }$ eineholomorphe Differentialformauf ${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}f}$ eineholomorphe Funktionauf ${\displaystyle {}Y}$. Zeige, dass für den Rückzugdie Beziehung

${\displaystyle {}\varphi ^{*}(f\omega )=(f\circ \varphi ){\left(\varphi ^{*}\omega \right)}\,}$

gilt.

Es seien ${\displaystyle {}X,Y,Z}$ riemannsche Flächenund${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$und${\displaystyle {}\psi \colon Y\rightarrow Z}$holomorphe Abbildungen.Zeige, dass für den Rückzugeinerholomorphen Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}Z}$ die Beziehung

${\displaystyle {}{\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}\omega =\psi ^{*}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}\,}$

gilt.