Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 10
- Aufgaben
Aufgabe
Es seien und Prägarbenauf demtopologischen Raum. Zeige, dass durch mit den natürlichenProduktabbildungeneine Prägarbe auf gegeben ist.
Aufgabe
Es sei eine Indexmenge und sei, ,eine Familie vonPrägarbenauf demtopologischen Raum. Zeige, dass durch mit den natürlichenProduktabbildungeneine Prägarbe auf gegeben ist.
Aufgabe
Interpretiere Beispiel 10.2im Sinne vonBeispiel 10.5.
Aufgabe
Es sei einetopologische GruppeundeineUntergruppe.Zeige, dass auf jedemtopologischen Raum diePrägarbe eineUnterprägarbevon ist.
Aufgabe
Zeige, dass derHalmdes Tangentialbündelseinerdifferenzierbaren Mannigfaltigkeitin einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit(in diesem Punkt)abhängt.
Aufgabe
Es seieineÜberlagerungzwischentopologischen Räumen und ,wobei lokal zusammenhängendsei. Bestimme den Halmzur Garbe der stetigen Schnittein .
Aufgabe
Es seien und Prägarbenauf demtopologischen Raum und ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für denHalmin jeden Punktdie Beziehung
gilt.
Aufgabe
Es sei eintopologischer Raumund seien Prägarbenauf . Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Identität
ist einHomomorphismus von Prägarben.
- WennundHomomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ein Homomorphismus von Prägarben.
- Zu einer Unterprägarbeist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.
Zu einem injektivenRinghomomorphismuszwischendiskreten Bewertungsringennennt man dieOrdnungeinerOrtsuniformisierendenvon in dieVerzweigungsindexder Erweiterung.
Aufgabe
Es seieine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen den zusammenhängendenriemannschen Flächen und und sei.Es sei
der zugehörigeRinghomomorphismusderHalme.Zeige, dass die folgenden Zahlen übereinstimmen.
- DieVerzweigungsordnungvon in .
- Der Exponent von einer lokalen Beschreibung von im Sinne vonSatz 2.1.
- DieVerzweigungsordnungvon .
Den Tangentialraum einer komplexen Mannigfaltigkeit kann man auch mit Derivationen im lokalen Ring charakterisieren.
Es sei einkommutativer Ring, eine kommutative-Algebraund ein-Modul.Dann heißt eine-lineare Abbildung
mit
für alle eine-Derivation(mit Werten in ).
Aufgabe *
Es sei einekomplexe Mannigfaltigkeitundein Punkt. Zeige, dass es einen natürlichen-Vektorraumisomorphismus
gibt.
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