Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 7

(1). Es sei ${\displaystyle {}\tau _{v}}$ die Translation um den Vektor${\displaystyle {}v\in V}$. Es sei${\displaystyle {}w=L^{-1}(v)}$.Dabei ist

${\displaystyle {}\tau _{v}\circ L=L\circ \tau _{w}\,.}$

Somit ist für eine beliebigemessbare Menge${\displaystyle {}B\subseteq V}$aufgrund derTranslationsinvarianzvon ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(L_{*}\lambda ^{n})(B+v)&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(\tau _{w}^{-1}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}{\left(\tau _{v}^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}(L^{-1}(B))\\&=(L_{*}\lambda ^{n})(B).\end{aligned}}}$

(2) folgt aus (1) mitKorollar 6.13.

Wenn ${\displaystyle {}L}$ nicht bijektiv ist, so steht links und rechts einfach ${\displaystyle {}0}$, wie ausLemma 6.11undSatz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))folgt. Wir können also annehmen, dass ${\displaystyle {}L}$ bijektiv ist. Dann kann man die Aussage mit dem Bildmaß als

${\displaystyle {}L_{*}\lambda ^{n}={\frac {1}{\vert {\det L}\vert }}\lambda ^{n}\,}$

formulieren.
Aufgrund vonSatz 12.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))in Verbindung mitLemma 12.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))gibt es Elementarmatrizen${\displaystyle {}E_{1},\ldots ,E_{k}}$ und eine Diagonalmatrix ${\displaystyle {}D}$ mit${\displaystyle {}L=E_{1}\circ \cdots \circ E_{\ell }\circ D\circ E_{\ell +1}\circ \cdots \circ E_{k}}$^[1] Aufgrunddes Determinantenmultiplikationssatzesund wegenLemma 3.10undAufgabe 7.7genügt es, die Aussage für Diagonalmatrizen und Elementarmatrizen zu beweisen.

WegenLemma 7.1ist also für diese Matrizen zu zeigen, dass das Volumen des von den Bildvektoren der Standardvektoren erzeugten Parallelotopsgleich dem Betrag der Determinante der Matrix ist. Für eine Diagonalmatrix ist das erzeugte Parallelotop der Quader, dessen Seitenlängen die Beträge der Diagonaleinträge sind, so dass das Volumen das Produkt davon ist. NachLemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge, so dass im Betrag Gleichheit gilt. Damit gilt die Aussage auch für eine elementare Skalierungsmatrix, die ja eine Diagonalmatrix ist.

Da die Determinante der übrigen Elementarmatrizen${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}-1}$ist, müssen wir zeigen, dass das Volumen des von den Spaltenvektoren einer solchenElementarmatrixerzeugten Parallelotops gleich ${\displaystyle {}1}$ ist. Dies ist klar für den Typ (1), also für die elementare Vertauschungsmatrix, da es sich um den Einheitswürfel handelt, wobei lediglich die Reihenfolge der erzeugenden Vektoren geändert wird. Es bleibt also eine elementare Scherungsmatrix${\displaystyle {}A_{ij}(a)}$ mit ${\displaystyle {}a\neq 0}$ und ${\displaystyle {}i\neq j}$zu betrachten. Wegen(Wir notieren nur die zweidimensionale Situation, da sich alles in zwei Zeilen und zwei Spalten abspielt)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{-1}&1\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{-1}&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

und dem schon bewiesenen kann man${\displaystyle {}a=1}$annehmen. Ferner kann man durch umnummerieren annehmen, dass${\displaystyle {}i=1}$ und${\displaystyle {}j=2}$ ist. Es geht dann um das Volumen des von

${\displaystyle e_{1},e_{1}+e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n}}$

erzeugten Parallelotops, also um

${\displaystyle {}{\begin{aligned}P&={\left\{t_{1}e_{1}+t_{2}(e_{1}+e_{2})+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]\right\}}\\&={\left\{(t_{1}+t_{2})e_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]\right\}}\\&={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [0,2],\,t_{2}\leq s\leq 1+t_{2}\right\}}.\end{aligned}}}$

Wir betrachten

${\displaystyle {}H_{1}={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [0,1],\,t_{2}\geq s\right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}H_{2}={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [1,2],\,s\geq 1+t_{2}\right\}}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}[0,2]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1]=H_{1}\cup P\cup H_{2}\,,}$

wobei die Durchschnitte dieser drei Mengen jeweils in einer Hyperebeneenthalten sind und daher nach Lemma 6.11das Maß ${\displaystyle {}0}$ besitzen. Also ist einerseits

${\displaystyle {}\lambda ^{n}(P)=2-\lambda ^{n}(H_{1})-\lambda ^{n}(H_{2})\,.}$

Andererseits geht ${\displaystyle {}H_{2}}$ durch verschieben um ${\displaystyle {}e_{1}}$ aus

${\displaystyle {}G_{2}={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [0,1],\,s\geq t_{2}\right\}}\,}$

hervor und besitzt damit wegender Translationsinvarianzdasselbe Volumen wie ${\displaystyle {}G_{2}}$. Da ${\displaystyle {}H_{1}\cup G_{2}}$ der Einheitswürfel ist, wobei der Durchschnitt wieder in einer Hyperebene liegt, ist

${\displaystyle {}\lambda ^{n}(H_{1})+\lambda ^{n}(H_{2})=\lambda ^{n}(H_{1})+\lambda ^{n}(G_{2})=1\,}$

und somit ist${\displaystyle {}\lambda ^{n}(P)=1}$.

Dies folgt unmittelbar ausSatz 7.2.

Dies folgt wegenLemma 7.1undSatz 7.2ausLemma 33.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).

Dies folgt wegenSatz 7.2ausSatz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))(6).

Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ eineOrthonormalbasisvon ${\displaystyle {}V}$ und es sei

${\displaystyle L_{u}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},}$

die dadurch definierte lineare Isometrie.Dann ist das Bildmaß${\displaystyle {}L_{u*}\lambda ^{n}}$ nachLemma 7.1translationsinvariantund besitzt auf dem von den ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ erzeugten Parallelotop den Wert ${\displaystyle {}1}$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert ${\displaystyle {}1}$ zuweist. Es sei also ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop ${\displaystyle {}P_{v}}$ und der zugehörigenIsometrie

${\displaystyle L_{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i}.}$

Dann ist

${\displaystyle {}L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,}$

wobei ${\displaystyle {}E}$ den Einheitswürfel im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Da ${\displaystyle {}L_{v}^{-1}\circ L_{u}}$ eine Isometrie des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ ist, folgt die Aussage ausKorollar 7.4.

Die Positivität der DeterminantederGramschen Matrixfolgt ausSatz 48.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ eineOrthonormalbasisvon ${\displaystyle {}V}$ und es sei

${\displaystyle {}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\,.}$

Die Spalten der Matrix${\displaystyle {}A=(a_{kj})_{kj}}$sind also die Koeffizienten von ${\displaystyle {}v_{j}}$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. NachSatz 7.2und aufgrund der Definition des Maßes ${\displaystyle {}\lambda _{V}}$ inSatz 7.7ist somit

${\displaystyle {}\lambda _{V}(P)=\vert {\det A}\vert \,.}$

Wegen

${\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}\,}$

ist

${\displaystyle {}{A^{\text{tr}}}A=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{ij}\,.}$

NachSatz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))ist${\displaystyle {}\det A=\det {A^{\text{tr}}}}$,so dass sich die Aussage ausSatz 17.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))ergibt.