Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 6

Zu${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$ betrachten wir die Translationsabbildung

${\displaystyle \varphi _{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P+v.}$

Es sei${\displaystyle {}\mu :=(\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n}}$dasBildmaßunter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlichesMaß. Für jeden Quader${\displaystyle {}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[}$ist${\displaystyle {}Q'=Q+v}$bzw.${\displaystyle {}{\tilde {Q}}=Q-v}$ wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist

${\displaystyle {}\mu (Q)=((\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n})(Q)=\lambda ^{n}(\varphi _{v}^{-1}(Q))=\lambda ^{n}(Q-v)=\lambda ^{n}({\tilde {Q}})=\lambda ^{n}(Q)\,.}$

Das Maß ${\displaystyle {}\mu }$ stimmt also auf den Quadern mit ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ überein und daher ist nachSatz 6.5überhaupt

${\displaystyle {}\mu =\lambda ^{n}\,.}$

 Es sei${\displaystyle {}U\subset \mathbb {R} ^{n}}$einUntervektorraumder Dimension${\displaystyle {}d<n}$und nehmen wir an, dass${\displaystyle {}\mu (U)>0}$ist. Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{d}}$ eineBasisvon ${\displaystyle {}U}$ und

${\displaystyle {}P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,}$

das davon erzeugte ${\displaystyle {}d}$-dimensionale Parallelotop.^[1]Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

${\displaystyle P_{k}=P+k_{1}u_{1}+\cdots +k_{d}u_{d},\,k=(k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {Z} ^{d}}$

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von ${\displaystyle {}U}$. Da es abzählbar viele sind, muss${\displaystyle {}\mu (P)>0}$gelten. Es sei nun ${\displaystyle {}u_{d+1},\ldots ,u_{n}}$ eineErgänzungder Basis zu einer Basis von ${\displaystyle {}V}$, und sei

${\displaystyle {}R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,}$

das zugehörige ${\displaystyle {}n}$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist

${\displaystyle {}\mu (R)<\infty \,.}$

Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

${\displaystyle P_{q}=P+qu_{n}{\text{ mit }}q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .}$

Diese liegen alle innerhalb von ${\displaystyle {}R}$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie ${\displaystyle {}P}$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von ${\displaystyle {}u_{n}}$ zu ${\displaystyle {}U}$ gehören würde. Aus

${\displaystyle {}\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,}$

folgt${\displaystyle {}\mu (R)=\infty }$, ein Widerspruch.

DasBorel-Lebesgue-Maß${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ erfüllt nachSatz 6.9diese Bedingungen. Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ ein solches Maß. NachLemma 6.11ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von ${\displaystyle {}\mu }$ alle das gleiche Maß besitzen, ist ${\displaystyle {}\mu }$${\displaystyle {}\sigma }$-endlich.Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle {}\mu }$ mit ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund desEindeutigkeitssatzesgenügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form ${\displaystyle {}[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[}$ mit rationalenEcken. Wegen der Translationsinvarianzvon ${\displaystyle {}\mu }$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader ${\displaystyle {}[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[}$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als${\displaystyle {}Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[}$ mit${\displaystyle {}m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N} }$.Dieser Quader setzt sich disjunkt aus ${\displaystyle {}c_{1}\cdots c_{n}}$ Quadern(nämlich ${\displaystyle {}[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[}$ mit${\displaystyle {}i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}}$)zusammen, die alle das gleiche ${\displaystyle {}\mu }$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das ${\displaystyle {}\mu }$-Maß des Quaders ${\displaystyle {}Q}$ ist also das ${\displaystyle {}c_{1}\cdots c_{n}}$-fache des ${\displaystyle {}\mu }$-Maßes des Quaders${\displaystyle {}{\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[}$.Da sich der Einheitswürfel aus ${\displaystyle {}m^{n}}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss${\displaystyle {}\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}}$und damit

${\displaystyle {}\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,}$

sein.

Es sei${\displaystyle {}c=\nu (E)}$,wobei ${\displaystyle {}E}$ der Einheitswürfelim ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ sei.Wenn${\displaystyle {}c=0}$ist, so liegt dasNullmaßvor, da sich der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß ${\displaystyle {}0}$ haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß ${\displaystyle {}0}$ und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß ${\displaystyle {}0}$. Es sei also${\displaystyle {}c\neq 0}$. In diesem Fall betrachten wir das durch

${\displaystyle {}\mu (T):={\frac {1}{c}}\nu (T)\,}$

definierte (umskalierte)Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert ${\displaystyle {}1}$. NachSatz 6.12ist also${\displaystyle {}\mu =\lambda ^{n}}$ und somit ist${\displaystyle {}\nu =c\lambda ^{n}}$.