Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 27

Die Fourier-Transformation

Definition

Zu einerintegrierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Funktion

{\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },

die durch

{}{\hat {f}}({\mathfrak {u}}):={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,

definiert ist, dieFourier-Transformation von ${}f$ .

Der Vorfaktor wird häufig auch anders gewählt, weggelassen oder mit dem Maß verarbeitet. Auch die Bezeichnung der Variablen wird sehr unterschiedlich gehandhabt. Einer integrierbaren komplexwertigen Funktion ${}f$ wird also eine andere Funktion ${}{\hat {f}}$ zugeordnet. Eine physikalische Interpretation ist, dass beispielsweise bei ${}n=1$ ${}f({\mathfrak {t}})$ eine zeitabhängige nichtperiodische (beispielsweise gedämpfte)Schwingung ist und ${}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})$ bzw. dessen Betrag angibt, wie stark die Frequenz ${}{\mathfrak {u}}$ in ${}f$ vorkommt.

Die Fourier-Transformation ist zunächst für integrierbare Funktionen definiert und liefert eine Funktion, von der wir noch keine Eigenschaft kennen. Da das definierende Integral sich nicht ändert, wenn man ${}f$ auf einer Nullmenge abändert, ist die Fourier-Transformation auf ${}L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ definiert.

Bemerkung

Sei ${}n=1$ .Es ist dann

{}{\begin{aligned}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }&=e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}\\&=\cos \left(-{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\\&=\cos \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)-{\mathrm {i} }\sin \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\end{aligned}}

ein Element des komplexen Einheitskreises. Wenn man ${}{\mathfrak {u}}$ fixiert und ${}{\mathfrak {t}}$ varieren lässt, handelt es sich um eine Bewegung auf dem komplexen Einheitskreis, wobei ${}{\mathfrak {u}}$ angibt, mit welcher Frequenz der Kreis durchlaufen wird. Wenn zusätzlich eine ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ -wertige Funktion gegeben ist, so kann man den Integranden in der Fouriertransformation

{}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}}){\left(\cos \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)-{\mathrm {i} }\sin \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\right)}\,

so verstehen, dass eine durch ${}{\mathfrak {u}}$ getakte Kreisbewegung mit dem variablen Radius ${}f({\mathfrak {t}})$ durchgeführt wird. Das Integral dieser Bewegung über ${}{\mathfrak {t}}\in \mathbb {R}$ berechnet den durchschnittlichen Aufenthaltsort der Bewegung. Dass ein solcher Durchschnitt existiert, setzt voraus, dass ${}f$ integrierbar ist, also abklingt, für ${}{\mathfrak {t}}\rightarrow \pm \infty$ geht der Radius gegen ${}0$ . Man erwartet im Allgemeinen, dass dieser durchschnittliche, über die Zeit gemittelte, Aufenthaltsort nahe beim Nullpunkt liegt, da sich ja die verschiedenen Auslenkungen bei einem Kreisumlauf, wenn der Radius sich dabei nicht stark ändert, weitgehend wegheben. Wenn es hingegen eine gewisse Synchronizität zwischen der Kreisbewegung und der Auslenkungsbewegung gibt, so erwartet man, dass der Durchschnittswert diese Auslenkung widerspiegelt.

Lemma

Die Fourier-Transformation

L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}

ist linear.

Beweis

SieheAufgabe 27.1.

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Beispiel

Es sei ${}a>0$ fixiert. Wir betrachten die Funktion

{}f({\mathfrak {t}})={\begin{cases}e^{-a{\mathfrak {t}}}{\text{ für }}{\mathfrak {t}}\geq 0\\0{\text{ sonst}}\,.\ \end{cases}}\,

Es ist

{}{\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{-a{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\left(a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \left({\frac {-1}{a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}e^{-{\left(a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {t}}}\right)|_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}\end{aligned}}

Beispiel

Es sei ${}a>0$ fixiert. Wir betrachten die Funktion

{}f({\mathfrak {t}})=e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }\,.

Es ist unter Verwendung vonBeispiel 27.4

{}{\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{-a{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{-\infty }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{a{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}s}e^{-as}ds\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{a-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {2a}{a^{2}+{\mathfrak {u}}^{2}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+{\mathfrak {u}}^{2}}}.\end{aligned}}

Beispiel

Sei ${}a>0$ fixiert und sei ${}f$ dieIndikatorfunktionzum Intervall ${}[-a,a]$ . Dann ist für ${}{\mathfrak {u}}\neq 0$

{}{\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-a}^{a}e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \left({\frac {-1}{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}\right)|_{-a}^{a}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}\cdot {\left(-e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}a}+e^{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}a}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {2\sin \left(a{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {u}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(a{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {u}}}.\end{aligned}}

Bei ${}{\mathfrak {u}}=0$ ist direkt ${}{\hat {f}}(0)={\frac {{\sqrt {2}}a}{\sqrt {\pi }}}$ ,was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt.

Lemma

Für die Fourier-Transformationgelten die folgenden Rechenregeln.

Zu ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ und ${}g({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}})e^{{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }$ ist
${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\hat {f}}({\mathfrak {u}}-v)\,.$
Zu ${}g({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}}-v)$ ist
${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }\,$
Zu
${}g=f(c{\mathfrak {t}})\,$
und reelles ${}c\neq 0$ ist
${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}{\hat {f}}{\left({\frac {1}{c}}{\mathfrak {u}}\right)}\,$

Beweis

Es ist
${}{\begin{aligned}{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})e^{{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}-v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\hat {f}}({\mathfrak {u}}-v).\end{aligned}}$
Es ist wegen der Translationsinvarianz
${}{\begin{aligned}{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}}-v)d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},s+v\right\rangle }f(s)ds\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}+v\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }.\end{aligned}}$
Mit ${}s=c{\mathfrak {t}}$ ist
${}{\begin{aligned}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f(c{\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\frac {s}{c}}\right\rangle }f(s)d{\frac {s}{c}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot {\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\frac {\mathfrak {u}}{c}},s\right\rangle }f(s)ds\\&={\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}{\hat {f}}\left({\frac {\mathfrak {u}}{c}}\right).\end{aligned}}$

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Lemma

Für dieFourier-Transformationvon ${}f({\mathfrak {t}})=e^{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}$

gilt

${}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})=e^{\frac {{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}\,.$

D.h. die Dichte der Normalverteilungist einFixpunktfür die Fourier-Transformation.

Beweis

Mit quadratischer Ergänzung ist

{}{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}={\frac {{\mathfrak {t}}^{2}-2{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}{2}}={\frac {{\left({\mathfrak {t}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}^{2}+{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}\,.

Daher ist mitSatz 14.6

{}{\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{\frac {{\left({\mathfrak {t}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}^{2}+{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}\int _{\mathbb {R} }e^{\frac {{\left({\mathfrak {t}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}^{2}}{2}}d{\mathfrak {t}}\\&=e^{\frac {{\mathfrak {u}}^{2}}{2}},\end{aligned}}

wobei im Integral wegen der Symmetrie der Imaginärteil gleich ${}0$ ist.

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Satz

Es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ integrierbare Funktionen.

Dann gilt für die Fourier-TransformationderFaltungdie Beziehung

${}{\widehat {f*g}}=(2\pi )^{n/2}\cdot {\hat {f}}\cdot {\hat {g}}\,.$

Beweis

NachSatz 9.8(für Dichten) angewendet auf die Addition undKorollar 13.2ist

{}{\begin{aligned}{\widehat {f*g}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }(f*g)({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}_{1}+{\mathfrak {t}}_{2}\right\rangle }f({\mathfrak {t}}_{1})g({\mathfrak {t}}_{2})d{\mathfrak {t}}_{1}d{\mathfrak {t}}_{2}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}_{1}\right\rangle }f({\mathfrak {t}}_{1})d{\mathfrak {t}}_{1}\right)}\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}_{2}\right\rangle }g({\mathfrak {t}}_{2})d{\mathfrak {t}}_{2}\right)}\\&=(2\pi )^{n/2}\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot {\hat {g}}({\mathfrak {u}}).\end{aligned}}

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Satz

Die Fourier-Transformation ${}{\hat {f}}$ einerintegrierbaren Funktion

istgleichmäßig stetig.

Beweis

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei

{}a=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert {f}\vert d\lambda ^{n}\,.

Zu ${}\epsilon '=\epsilon /(a+2)$ gibt es nachAufgabe 9.12einen abgeschlossenen Ball ${}B\left(0,r\right)$ mit

{}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon '\,.

Wir setzen ${}\delta :={\frac {\epsilon '}{r}}$ .Dann gilt für ${}{\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {u}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Vert {{\mathfrak {u}}_{1}-{\mathfrak {u}}_{2}}\Vert \leq \delta$ nachAufgabe 32.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))die Abschätzung

{}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {t}},{\mathfrak {u}}_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {t}},{\mathfrak {u}}_{2}\right\rangle }}\vert \leq \Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \Vert {{\mathfrak {u}}_{1}-{\mathfrak {u}}_{2}}\Vert \leq \Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \delta \,

und damit

{}{\begin{aligned}\vert {{\hat {f}}({\mathfrak {u}}_{1})-{\hat {f}}({\mathfrak {u}}_{2})}\vert &\leq \vert {\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}}\vert \\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{B\left(0,r\right)}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&\leq \int _{B\left(0,r\right)}\Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \delta \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+2\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}\vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&\leq r\cdot \delta \cdot \int _{B\left(0,r\right)}\vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+2\epsilon '\\&\leq r\cdot \delta \cdot a+2\epsilon '\\&\leq \epsilon '(a+2)\\&=\epsilon .\end{aligned}}

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Satz

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion und sei ${}(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ . Für jedes Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})\leq (r_{1},\ldots ,r_{n})$ sei ${}{\mathfrak {t}}_{1}^{k_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{k_{n}}f$ integrierbar.

Dann ist dieFourier-Transformierte ${}{\hat {f}}$ von ${}f$ in Richtung ${}D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}$ partiell differenzierbarund es gilt

${}D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}{\left({\hat {f}}\right)}=(-{\mathrm {i} })^{r_{1}+\cdots +r_{n}}{\left({\mathfrak {t}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{r_{n}}f\right)}^{\hat {\,}}\,.$

Beweis

Mit Induktion genügt es, die Aussage für ${}D_{1}$ zu zeigen. Unter Verwendung vonKorollar 11.3,angewendet auf das Maß ${}fd\lambda ^{n}$ und die Funktion ${}{\mathfrak {t}}\mapsto e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }$ , ist

{}{\begin{aligned}{\left(D_{1}{\hat {f}}\right)}{\left({\mathfrak {u}}\right)}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}D_{1}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\left(-{\mathrm {i} }\right)}{\mathfrak {t}}_{1}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\left(-{\mathrm {i} }{\mathfrak {t}}_{1}f\right)}^{\hat {\,}}.\end{aligned}}

\Box

Es liegt also unter den formulierten Voraussetzungen ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel {FT}{\longrightarrow }}&\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}&\\\!\!\!\!\!\cdot (-{\mathrm {i} })^{\vert {r}\vert }{\mathfrak {t}}^{r}\downarrow &&\downarrow D^{r}\!\!\!\!\!&\\\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel {FT}{\longrightarrow }}&\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

vor, wobei die Definitionsbereiche nicht die gesamte Abbildungsmenge sind.

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