Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 23

Unter Verwendung vonSatz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1)ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\left(\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)\right)}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt+{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt-{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt.\end{aligned}}}$

Bei${\displaystyle {}n\geq 0}$ist dies ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}a_{n}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }b_{n}}$, bei${\displaystyle {}n<0}$muss man zum Negativen übergehen und noch einmalSatz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)verwenden.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{T}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}{\frac {1}{\sqrt {T}}}{\overline {e^{\omega {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}e^{-\omega {\mathrm {i} }nx}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}}$

Bei${\displaystyle {}m=n}$ist dies

${\displaystyle {}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{0}dx={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}1dx=1\,.}$

Bei${\displaystyle {}m\neq n}$ist dies

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}\right)}{|}_{0}^{T}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}}$

Wegen

${\displaystyle {}f_{m}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}\cdot {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}={\frac {1}{T}}e^{\omega {\mathrm {i} }(m+n)x}\,}$

ist die Familie (bis auf den skalaren Vorfaktor)unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der ${\displaystyle {}f_{n}}$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebra, der Fall${\displaystyle {}n=0}$sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen

${\displaystyle {}{\overline {f_{n}}}=f_{-n}\,}$

ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion${\displaystyle {}e^{{\mathrm {i} }\omega x}}$ gesichert.

Die Orthonormalitätsrelationen wurden inLemma 23.4gezeigt. NachLemma 23.5ist die von den ${\displaystyle {}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}}$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nachdem komplexen Satz von Stone-Weierstrassgibt es zu jeder stetigen Funktion

${\displaystyle h\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

und jedem${\displaystyle {}\epsilon >0}$ein trigonometrisches Polynom ${\displaystyle {}p}$ mit

${\displaystyle {}\vert {h(x)-p(x)}\vert \leq \epsilon \,}$

für alle ${\displaystyle {}x}$. Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der ${\displaystyle {}L^{2}}$-Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in${\displaystyle {}C([0,T],{\mathbb {C} })\subseteq L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })}$. NachKorollar 20.10ist die Algebra dann auch dicht in ${\displaystyle {}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })}$.

Es sei ${\displaystyle {}2\pi }$ die Periodenlänge. Die stückweise existierendeAbleitungvon ${\displaystyle {}f}$ ist stückweise stetig und ebenfalls periodisch, daher gibt es eine Fourierentwicklung

${\displaystyle {}f'=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }nt}\,.}$

Dabei ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f'(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}dt\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(f(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}|_{0}^{2\pi }+{\mathrm {i} }n\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}\right)}\\&={\mathrm {i} }nc_{n}.\end{aligned}}}$

Es ist

${\displaystyle {}\sum _{n\neq 0}\vert {c_{n}}\vert =\sum _{n\neq 0}{\frac {\vert {d_{n}}\vert }{\vert {n}\vert }}\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n\neq 0}{\left(\vert {d_{n}}\vert ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}\right)}\,,}$

wobei die Abschätzung rechts summandenweise auf${\displaystyle {}{\left(\vert {d_{n}}\vert -{\frac {1}{n}}\right)}^{2}\geq 0}$beruht. Nachder Besselschen Abschätzungsind die Betragsquadrate ${\displaystyle {}\vert {d_{n}}\vert ^{2}}$ summierbarund nachBeispiel 9.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))sind die Quadrate der Stammbrüche summierbar und somit sind die Beträge der Fourierkoeffizienten zu ${\displaystyle {}f}$ summierbar. Da die Beträge der Exponentialfunktionen ${\displaystyle {}e^{{\mathrm {i} }nt}}$ auf ${\displaystyle {}[0,2\pi ]}$ durch ${\displaystyle {}1}$ beschränkt sind, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz ausSatz 16.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Mit partieller Integration ist für${\displaystyle {}n\neq 0}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c_{n}&=\int _{0}^{1}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}},\end{aligned}}}$

da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist${\displaystyle {}c_{0}={\frac {1}{2}}}$.Somit ist gemäßLemma 23.3${\displaystyle {}a_{n}=c_{n}+c_{-n}=0}$und

${\displaystyle {}b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi (-n)}}\right)}=-{\frac {1}{\pi n}}\,.}$

Die Fourierreihe ist also

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{2\pi {\mathrm {i} }nt}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.}$

Es seien${\displaystyle {}F_{2k}}$ bzw. ${\displaystyle {}F_{2k+1}}$die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist

${\displaystyle {}F_{1}(t)=2\cdot (-1){\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=t-{\frac {1}{2}}=B_{1}(t)\,}$

nachLemma 23.9.Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F_{2k}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k}{\frac {(2k-1)!}{(2\pi )^{2k-1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k-1}}}\\&=(2k)F_{2k-1}.\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F_{2k+1}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\\&=(2k+1)F_{2k}.\end{aligned}}}$

Ferner ist${\displaystyle {}F_{2k}(0)=F_{2k}(1)}$und${\displaystyle {}F_{2k+1}(0)=F_{2k+1}(1)=0}$,woraus die Normierungseigenschaft über das Integral folgt.

Satz 23.10für${\displaystyle {}k=1}$besagt

${\displaystyle {}B_{2}(t)=t^{2}-t+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2}}}\,,}$

wobei Konvergenz im Sinne der ${\displaystyle {}L^{2}}$-Norm vorliegt. Wegen

${\displaystyle {}B_{2}(0)=B_{2}(1)\,}$

kann manSatz 23.7anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für${\displaystyle {}t=0}$ergibt dies

${\displaystyle {}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,,}$

also

${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.}$