Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 19

Es sei zunächst die Familiesummierbarmit der Summe ${\displaystyle {}s}$, und sei${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Zu ${\displaystyle {}\epsilon /2}$ gibt es eine endliche Teilmenge${\displaystyle {}E_{0}\subseteq I}$ derart, dass für alle endlichen Mengen${\displaystyle {}E\subseteq I}$mit${\displaystyle {}E_{0}\subseteq E}$ die Abschätzung${\displaystyle {}\Vert {v_{E}-s}\Vert \leq \epsilon /2}$gilt. Für jede zu ${\displaystyle {}E_{0}}$ disjunkteendliche Teilmenge ${\displaystyle {}D}$ gilt dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {v_{D}}\Vert &=\Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s-v_{E_{0}}+s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&=\Vert {v_{E_{0}\cup D}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}}$

so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun${\displaystyle {}v_{i}}$ , ${\displaystyle {}i\in I}$,eineCauchy-Familie.Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$gibt es eine endliche Teilmenge${\displaystyle {}E_{n}\subseteq I}$derart, dass für jede endliche Teilmenge${\displaystyle {}D\subseteq I}$mit${\displaystyle {}E_{n}\cap D=\emptyset }$ die Abschätzung${\displaystyle {}\Vert {v_{D}}\Vert \leq 1/n}$ gilt. Wir können annehmen, dass${\displaystyle {}E_{n}\subseteq E_{n+1}}$für alle ${\displaystyle {}n}$ gilt. Wir setzen

${\displaystyle {}x_{n}:=v_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}v_{i}\,.}$

Für${\displaystyle {}k\geq m\geq n}$ gilt

${\displaystyle {}\Vert {x_{k}-x_{m}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in E_{k}}v_{i}-\sum _{i\in E_{m}}v_{i}}\Vert =\Vert {v_{E_{k}\setminus E_{m}}}\Vert \leq 1/m\leq 1/n\,,}$

da die Menge ${\displaystyle {}E_{k}\setminus E_{m}}$ disjunkt zu ${\displaystyle {}E_{m}}$ ist. Daher ist ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eineCauchy-Folgeund somit wegen derVollständigkeitvon ${\displaystyle {}V}$ konvergentgegen ein${\displaystyle {}s\in V}$.
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${\displaystyle {}s}$. Es sei dazu ein${\displaystyle {}\epsilon >0}$vorgegeben. Es gibt${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$mit${\displaystyle {}1/n\leq \epsilon /2}$.Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben ${\displaystyle {}\Vert {x_{n}-s}\Vert \leq \epsilon /2}$.Für jedes endliche${\displaystyle {}E\supseteq E_{n}}$ schreiben wir${\displaystyle {}E=E_{n}\cup D}$ mit ${\displaystyle {}E_{n}\cap D=\emptyset }$.Damit gelten die Abschätzungen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {v_{E}-s}\Vert &=\Vert {v_{E_{n}}+v_{D}-s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{E_{n}}-s}\Vert +\Vert {v_{D}}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$

Es folgt unmittelbar aus der Definition, dass es in jeder ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}w}$ Elemente aus dem von den ${\displaystyle {}v_{i}}$ erzeugten Untervektorraum gibt.

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge ${\displaystyle {}T}$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nachLemma 17.3ebenfalls kompakt, es gilt also (1).

Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in ${\displaystyle {}V}$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von ${\displaystyle {}W}$ und besitzt nach Lemma 17.4(für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie)eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).

Es sei nun (3) erfüllt und${\displaystyle {}T\subseteq V}$beschränkt. Es ist die Kompaktheit von ${\displaystyle {}\varphi (T)}$ zu zeigen. Es sei${\displaystyle {}w_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,eine Folge in ${\displaystyle {}\varphi (T)}$. Es gibt dann eine Folge ${\displaystyle {}v_{n}\in T}$ mit

${\displaystyle {}d{\left(\varphi (v_{n}),w_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\,.}$

Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge ${\displaystyle {}v_{n_{k}}}$ derart, dass ${\displaystyle {}\varphi (v_{n_{k}})}$ gegen ein Element${\displaystyle {}w\in {\overline {\varphi (T)}}}$konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge ${\displaystyle {}w_{n_{k}}}$ gegen ${\displaystyle {}w}$.