Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 15

1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei${\displaystyle {}x\sim y}$und${\displaystyle {}y\sim z}$,also${\displaystyle {}d(x,y)=0=d(y,z)}$,folgt aus der Dreiecksabschätzung${\displaystyle {}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$sofort${\displaystyle {}d(x,z)=0}$,also${\displaystyle {}x\sim z}$.
2. Wir müssen zeigen, dass durch

   ${\displaystyle {}{\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,}$

   eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien${\displaystyle {}x\sim x'}$und${\displaystyle {}y\sim y'}$,also${\displaystyle {}d(x,x')=0}$und${\displaystyle {}d(y,y')=0}$.Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

   ${\displaystyle {}d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,}$

   und ebenso${\displaystyle {}d(x',y')\leq d(x,y)}$,also${\displaystyle {}d(x',y')=d(x,y)}$,was die Wohldefiniertheit von ${\displaystyle {}{\tilde {d}}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von ${\displaystyle {}d}$ übertragen sich direkt auf ${\displaystyle {}{\tilde {d}}}$. Aus ${\displaystyle {}{\tilde {d}}([x],[y])=0}$folgt direkt${\displaystyle {}d(x,y)=0}$,also${\displaystyle {}x\sim y}$und damit${\displaystyle {}[x]=[y]}$.

3. Sei${\displaystyle {}U\subseteq M/\sim }$offenund sei ${\displaystyle {}V}$ das Urbild davon. Sei${\displaystyle {}x\in V}$ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein${\displaystyle {}\epsilon >0}$mit${\displaystyle {}U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U}$in ${\displaystyle {}M/\sim }$. Daraus folgt direkt${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V}$,da ${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}}$ das Urbild von ${\displaystyle {}U{\left([x],\epsilon \right)}}$ ist.
4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in ${\displaystyle {}M}$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.

1. Es ist${\displaystyle {}d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert \geq 0}$.
2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}}$

3. Für beliebiges${\displaystyle {}w\in V}$ ist nach der Definition einer Halbnorm

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}}$

Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei${\displaystyle {}(u,v)\in V\times V}$fixiert und${\displaystyle {}\epsilon >0}$vorgegeben. Es sei

${\displaystyle {}(u',v')\in U{\left(u,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\,,}$

hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}(u,v)}$. Hier gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {u'+v'-(u+v)}\Vert &\leq \Vert {u'-u}\Vert +\Vert {v'-v}\Vert \\&<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$

Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei${\displaystyle {}(s,v)\in {\mathbb {K} }\times V}$fixiert und${\displaystyle {}\epsilon >0}$vorgegeben, das wir als ${\displaystyle {}\leq 1}$ annehmen. Es sei${\displaystyle {}D=\Vert {v}\Vert }$und

${\displaystyle {}C=\operatorname {max} \left(D,\,\vert {s}\vert \,,1\right)\,.}$

Es sei${\displaystyle {}(t,u)\in U{\left(s,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}}$.Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {tu-sv}\Vert &\leq \Vert {tu-su}\Vert +\Vert {su-sv}\Vert \\&=\vert {t-s}\vert \Vert {u}\Vert +\vert {s}\vert \Vert {u-v}\Vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{4C}}{\left(C+{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}+C{\frac {\epsilon }{4C}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&<\epsilon .\end{aligned}}}$

1. Folgt direkt aus der Verträglichkeit der Halbnorm mit der Skalarmultiplikation und aus der Dreiecksabschätzung.
2. Für${\displaystyle {}z\in Z}$ist

   ${\displaystyle {}\Vert {v+z}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v}\Vert \,}$

   und ebenso

   ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \leq \Vert {v+z}\Vert +\Vert {-z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,,}$

   also ist

   ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,.}$

   Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum ${\displaystyle {}V/Z}$. Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt${\displaystyle {}\Vert {[v]}\Vert =0}$genau dann, wenn${\displaystyle {}v\in Z}$ist, also${\displaystyle {}[v]=0}$in ${\displaystyle {}V/Z}$. Daher liegt eine Norm vor.

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für${\displaystyle {}\epsilon =1}$ein${\displaystyle {}\delta >0}$derart, dass aus

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \leq \delta \,}$

die Abschätzung

${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq 1\,}$

folgt. Aus

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \leq 1\,}$

folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit

${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq {\frac {1}{\delta }}\,.}$

Von (3) nach (1). Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei${\displaystyle {}v\in V}$ gegeben. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(\varphi (v),\varphi (w))&=\Vert {\varphi (v)-\varphi (w)}\Vert \\&=\Vert {\varphi (v-w)}\Vert \\&=\Vert {v-w}\Vert \cdot \Vert {\varphi {\left({\frac {(v-w)}{\Vert {v-w}\Vert }}\right)}}\Vert \\&\leq \Vert {v-w}\Vert \cdot C.\end{aligned}}}$

Zu${\displaystyle {}\epsilon >0}$kann man also

${\displaystyle {}\delta :=\epsilon /C\,}$

wählen.

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich ausLemma 15.13.Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum${\displaystyle {}U}$ eine abzählbare Basisund ${\displaystyle {}U}$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit

${\displaystyle {}U=\langle v_{n},\,n\in \mathbb {N} \rangle \,}$

und dicht. Wir nehmen${\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} }$an und behaupten, dass der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Vektorraum${\displaystyle {}T=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} v_{n}}$,der nachLemma 10.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von ${\displaystyle {}V}$ ist. Es sei dazu${\displaystyle {}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V}$eine offene Umgebung eines Punktes${\displaystyle {}Q\in V}$. Es gibt dann ein Element

${\displaystyle {}u=\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}\in U\,}$

mit${\displaystyle {}E\subseteq \mathbb {N} }$endlich mit ${\displaystyle {}m}$ Elementen und${\displaystyle {}d{\left(Q,u\right)}=\delta <\epsilon }$.Es sei ${\displaystyle {}S}$ eine obere Schranke für${\displaystyle {}\Vert {v_{n}}\Vert }$, ${\displaystyle {}n\in E}$.Wenn man in ${\displaystyle {}u}$ die reellen Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{n}}$ durch rationale Koeffizienten ${\displaystyle {}b_{n}}$ mit

${\displaystyle {}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert <{\frac {\epsilon -\delta }{mS}}\,}$

ersetzt, so erhält man das Element${\displaystyle {}\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}\in T}$ innerhalb von ${\displaystyle {}U{\left(Q,\epsilon \right)}}$. Es ist ja

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {Q-\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}}\Vert &\leq \Vert {Q-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert +\Vert {\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert \\&\leq \delta +\sum _{n\in E}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert \Vert {v_{n}}\Vert \\&<\delta +\epsilon -\delta \\&=\epsilon .\end{aligned}}}$