Es sei ( M , A , μ ) {\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ {\displaystyle {}\sigma } -endlicher Maßraum und
v : M ⟶ R n {\displaystyle v\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}} einemessbare Abbildung .
Dann ist die Abbildung
φ v : M × R n ⟶ M × R n , ( x , y ) ⟼ ( x , y + v ( x ) ) , {\displaystyle \varphi _{v}\colon M\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M\times \mathbb {R} ^{n},\,(x,y)\longmapsto (x,y+v(x)),} bijektiv undmaßtreu .
Die Abbildung φ v {\displaystyle {}\varphi _{v}} istmessbar nachLemma 4.11 und nachLemma 8.3 .Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist φ − v {\displaystyle {}\varphi _{-v}} . Sei T ⊆ M × N {\displaystyle {}T\subseteq M\times N} messbar .Wir müssen
( μ ⊗ λ n ) ( T ) = ( μ ⊗ λ n ) ( φ v − 1 ( T ) ) {\displaystyle {}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)=(\mu \otimes \lambda ^{n})(\varphi _{v}^{-1}(T))\,} zeigen. Für x ∈ M {\displaystyle {}x\in M} ist
( φ v − 1 ( T ) ) ( x ) = { y ∈ R n ∣ ( x , y ) ∈ φ v − 1 ( T ) } = { y ∈ R n ∣ ( x , y + v ( x ) ) ∈ T } . {\displaystyle {}(\varphi _{v}^{-1}(T))(x)={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y)\in \varphi _{v}^{-1}(T)\right\}}={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}\,.} Aufgrund derTranslationsinvarianz desBorel-Lebesgue-Maßes besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
{ y + v ( x ) ∈ R n ∣ ( x , y + v ( x ) ) ∈ T } = { z ∈ R n ∣ ( x , z ) ∈ T } = T ( x ) . {\displaystyle {\left\{y+v(x)\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}={\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,z)\in T\right\}}=T(x)\,.} Aufgrundder Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips gilt also
( μ ⊗ λ n ) ( T ) = ∫ M λ n ( T ( x ) ) d μ ( x ) = ∫ M λ n ( ( φ v − 1 ( T ) ) ( x ) ) d μ ( x ) = ( μ ⊗ λ n ) ( φ v − 1 ( T ) ) . {\displaystyle {}{\begin{aligned}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)&=\int _{M}\lambda ^{n}(T(x))\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\lambda ^{n}{\left({\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}(x)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{n}\right)}{\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}.\end{aligned}}} ◻ {\displaystyle \Box }
Einige Volumina Zu einer Teilmenge T ⊆ R × R ≥ 0 {\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}} nennt man
{ ( x , y cos α , y sin α ) ∈ R 3 ∣ ( x , y ) ∈ T , α ∈ [ 0 , 2 π ] } {\displaystyle {\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}} die zugehörige Rotationsmenge (um die x {\displaystyle {}x} -Achse).
Es sei
f : [ a , b ] ⟶ R ≥ 0 , t ⟼ f ( t ) , {\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),} einenichtnegative messbare Funktion und sei K ⊆ R 3 {\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}} der Rotationskörper zumSubgraphen von f {\displaystyle {}f} um die x {\displaystyle {}x} -Achse.
Dann besitzt K {\displaystyle {}K} das Volumen
λ 3 ( K ) = π ⋅ ∫ [ a , b ] ( f ( t ) ) 2 d λ ( t ) = π ⋅ ∫ a b ( f ( t ) ) 2 d t , {\displaystyle {}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,} wobei für die zweite Formel f {\displaystyle {}f} als stetig vorausgesetzt sei.
Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer(differenzierbaren)Funktion werden wir inin der Differentialgeomertrie . berechnen.
Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert π {\displaystyle {}\pi } , für das Volumen der Einheitskugel der Wert 4 3 π {\displaystyle {}{\frac {4}{3}}\pi } und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert π 2 2 {\displaystyle {}{\frac {\pi ^{2}}{2}}} .
Bei h = 0 {\displaystyle {}h=0} liegt der gesamte Kegel in R n {\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}} und sein λ n + 1 {\displaystyle {}\lambda ^{n+1}} -Maß ist 0 {\displaystyle {}0} nachLemma 6.11 ,sei also h ≠ 0 {\displaystyle {}h\neq 0} .Der Durchschnitt von K = K B {\displaystyle {}K=K_{B}} mit der durch x n + 1 = t {\displaystyle {}x_{n+1}=t} , t {\displaystyle {}t} zwischen 0 {\displaystyle {}0} und h {\displaystyle {}h} ,gegebenen Hyperebene ist
K ( t ) = { ( x 1 , … , x n ) ∣ ( x 1 , … , x n , t ) ∈ K B } = { ( x 1 , … , x n ) ∣ ( x 1 , … , x n , t ) = P + ( h − t ) h ( Q − P ) , Q ∈ B } . {\displaystyle {}{\begin{aligned}K(t)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}}.\end{aligned}}} Wegen derTranslationsinvarianz undKorollar 7.3 ist dessen Volumen gleich | h − t h | n λ n ( B ) {\displaystyle {}\vert {\frac {h-t}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)} . Nachdem Cavalieri-Prinzip ist also(mit s = h − t {\displaystyle {}s=h-t} )
λ n + 1 ( K B ) = ∫ 0 | h | λ n ( K ( s ) ) d s = ∫ 0 | h | λ n ( B ) ⋅ ( s | h | ) n d s = λ n ( B ) ⋅ 1 | h | n ⋅ ∫ 0 | h | s n d s = λ n ( B ) ⋅ 1 | h | n ⋅ 1 n + 1 | h | n + 1 = λ n ( B ) ⋅ 1 n + 1 ⋅ | h | . {\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}} ◻ {\displaystyle \Box }
Der Satz von Fubini Es seien ( M , A , μ ) {\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )} und ( N , B , ν ) {\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )} σ {\displaystyle {}\sigma } -endliche Maßräume und sei
f : M × N ⟶ R ¯ {\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}} einemessbare Funktion . Der Satz von Fubini bringt das Integral ∫ M × N f d ( μ ⊗ ν ) {\displaystyle {}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )} mit dem Integral über M {\displaystyle {}M} der Funktion
M ⟶ R ¯ , x ⟼ ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) , {\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),} in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum M × N × R ¯ {\displaystyle {}M\times N\times {\overline {\mathbb {R} }}} , und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details(Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen)doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen.
Es seien ( M , A , μ ) {\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )} und ( N , B , ν ) {\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )} σ {\displaystyle {}\sigma } -endliche Maßräume und sei
f : M × N ⟶ R ¯ ≥ 0 {\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}} eine nichtnegativemessbare Funktion . Dann gelten folgende Aussagen.
Für jedes x ∈ M {\displaystyle {}x\in M} ist die Funktion N ⟶ R ¯ ≥ 0 , y ⟼ f ( x , y ) , {\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto f(x,y),} und für jedes y ∈ N {\displaystyle {}y\in N} ist die Funktion
M ⟶ R ¯ ≥ 0 , x ⟼ f ( x , y ) , {\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto f(x,y),} messbar .
Die Funktion N ⟶ R ¯ ≥ 0 , y ⟼ ∫ M f ( x , y ) d μ ( x ) , {\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),} und die Funktion M ⟶ R ¯ ≥ 0 , x ⟼ ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) , {\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),} sindmessbar .
Es gilt ∫ M × N f d ( μ ⊗ ν ) = ∫ M ( ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) ) d μ ( x ) = ∫ N ( ∫ M f ( x , y ) d μ ( x ) ) d ν ( y ) . {\displaystyle {}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,.} (1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
M ⟶ M × N , x ⟼ ( x , y ) , {\displaystyle M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),} für jedes y ∈ N {\displaystyle {}y\in N} . (2) folgt ausLemma 11.4 angewendet auf
S ( f ) ⊆ M × ( N × R ¯ ) , {\displaystyle {}S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,} da ( S ( f ) ) ( x ) {\displaystyle {}(S(f))(x)} der Subgraph von f ( x , − ) {\displaystyle {}f(x,-)} und ∫ N f ( x , − ) d ν = ν ⊗ λ 1 ( S ( f ) ( x ) ) {\displaystyle {}\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))} ist. (3). NachSatz 11.5 ,angewendet auf das Produkt M × ( N × R ¯ ) {\displaystyle {}M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})} , ist
∫ M × N f d ( μ ⊗ ν ) = ( μ ⊗ ν ⊗ λ 1 ) ( S ( f ) ) = ∫ M ( ν ⊗ λ 1 ) ( ( S ( f ) ) ( x ) ) d μ = ∫ M ( ∫ N f ( x , y ) d ν ) d μ . {\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}} Da man die Rollen von M {\displaystyle {}M} und N {\displaystyle {}N} vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.
◻ {\displaystyle \Box }
Es seien ( M , A , μ ) {\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )} und ( N , B , ν ) {\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )} σ {\displaystyle {}\sigma } -endliche Maßräume und sei
f : M × N ⟶ R ¯ {\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}} eine messbare Funktion .
Dann ist f {\displaystyle {}f} genau dann integrierbar ,wenn
∫ M ( ∫ N | f ( x , y ) | d ν ( y ) ) d μ ( x ) oder ∫ N ( ∫ M | f ( x , y ) | d μ ( x ) ) d ν ( y ) {\displaystyle \int _{M}{\left(\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x){\text{ oder }}\int _{N}{\left(\int _{M}\vert {f(x,y)}\vert \,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)} endlich ist.
Wir kommen nun zum Satz von Fubini .
Es seien ( M , A , μ ) {\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )} und ( N , B , ν ) {\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )} σ {\displaystyle {}\sigma } -endliche Maßräume und sei
f : M × N ⟶ R ¯ {\displaystyle f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}} eineintegrierbare Funktion .
Dann sind die beiden Funktionen
M ⟶ R ¯ , x ⟼ ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) , {\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),} und
N ⟶ R ¯ , y ⟼ ∫ M f ( x , y ) d μ ( x ) , {\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),} fast überall reellwertig und fast überallintegrierbar ,und es gilt
∫ M × N f d ( μ ⊗ ν ) = ∫ M ( ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) ) d μ ( x ) = ∫ N ( ∫ M f ( x , y ) d μ ( x ) ) d ν ( y ) {\displaystyle {}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,} Nach Voraussetzung und nachLemma 12.9 ist die Funktion x ↦ ∫ N | f ( x , y ) | d ν ( y ) {\displaystyle {}x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)} integrierbar .Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral ∫ N | f ( x , y ) | d ν ( y ) {\displaystyle {}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)} fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge Z ⊆ M {\displaystyle {}Z\subseteq M} gibt mit ∫ N | f ( x , y ) | d ν ( y ) < ∞ {\displaystyle {}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty } für x ∉ Z {\displaystyle {}x\notin Z} .Daher sind nach Lemma 9.5 für x ∉ Z {\displaystyle {}x\notin Z} die Integrale ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) {\displaystyle {}\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)} definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile f + ( x , y ) {\displaystyle {}f_{+}(x,y)} und f − ( x , y ) {\displaystyle {}f_{-}(x,y)} .
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da Z × N {\displaystyle {}Z\times N} eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man M {\displaystyle {}M} durch M ∖ Z {\displaystyle {}M\setminus Z} ersetzen. Wir schreiben
∫ M × N f d ( μ ⊗ ν ) = ∫ M × N ( f + − f − ) d ( μ ⊗ ν ) = ∫ M × N f + d ( μ ⊗ ν ) − ∫ M × N f − d ( μ ⊗ ν ) {\displaystyle \int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,} und wenden auf die beiden SummandenLemma 12.8 an, so dass dies gleich
= ∫ M ( ∫ N f + ( x , y ) d ν ( y ) ) d μ ( x ) − ∫ M ( ∫ N f − ( x , y ) d ν ( y ) ) d μ ( x ) = ∫ M ( ∫ N ( f + ( x , y ) − f − ( x , y ) ) d ν ( y ) ) d μ ( x ) = ∫ M ( ∫ N f ( x , y ) d ν ( y ) ) d μ ( x ) {\displaystyle {}{\begin{aligned}&=\int _{M}{\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)-\int _{M}{\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}} ist.
◻ {\displaystyle \Box }