Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 11

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen ${\displaystyle {}x\mapsto f(t,x)}$ folgt ausLemma 9.5.Wir müssen die Stetigkeit der Funktion ${\displaystyle {}t\mapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}$ in ${\displaystyle {}t_{0}}$ zeigen. Wir wendendas Folgenkriterium für die Stetigkeitan, sei also ${\displaystyle {}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}E}$, die gegen ${\displaystyle {}t_{0}}$ konvergiert. Wir setzen${\displaystyle {}f_{n}(x)=f(s_{n},x)}$.Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiertdie Folge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ für jedes${\displaystyle {}x\in M}$gegen ${\displaystyle {}f(t_{0},x)}$. Daherkonvergiertdie Funktionenfolge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ punktweise gegen ${\displaystyle {}f(t_{0},-)}$. Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenzanwenden und erhält

${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (s_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{M}f(t_{0},x)\,d\mu (x)=\varphi (t_{0})\,.}$

DerDifferenzenquotientfür ${\displaystyle {}\varphi }$ in einem Punkt${\displaystyle {}t\in I}$ und${\displaystyle {}s\neq t}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {\varphi (s)-\varphi (t)}{s-t}}={\frac {\int _{M}f(s,x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s-t}}\,.}$

Wir müssen für jede Folge ${\displaystyle {}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {}I}$ mit${\displaystyle {}s_{n}\neq t}$,die gegen ${\displaystyle {}t}$ konvergiert,zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nachdem Mittelwertsatz der Differentialrechnunggibt es(für jedes${\displaystyle {}x\in M}$ und jedes ${\displaystyle {}n}$)ein${\displaystyle {}c\in I}$mit

${\displaystyle {}\vert {\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\vert =\vert {f'(c,x)}\vert \leq h(x)\,.}$

Da ${\displaystyle {}h}$ integrierbar ist, ist auch für jedes${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ der Differenzenquotient als Funktion in ${\displaystyle {}x}$ nachLemma 9.5integrierbar. Dann ist unter Verwendungder Linearität des Integralsunddes Satzes von der majorisierten Konvergenz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi '(t)&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi (s_{n})-\varphi (t)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{M}f(s_{n},x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x).\end{aligned}}}$

Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Satz 11.1.

Dies folgt ausSatz 11.2,indem man zu${\displaystyle {}i\in {\{1,\ldots ,n\}}}$und${\displaystyle {}P\in U}$die lineare Kurve

${\displaystyle \psi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+te_{i},}$

vorschaltet und ${\displaystyle {}f\circ (\psi \times \operatorname {Id} _{M})}$ betrachtet.

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion ${\displaystyle {}x\mapsto \nu (T(x))}$. Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß ${\displaystyle {}\nu }$ auf ${\displaystyle {}N}$ endlichist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbaremessbareAusschöpfung${\displaystyle {}N_{n}\uparrow N}$ mit${\displaystyle {}\nu (N_{n})<\infty }$.Wir setzen${\displaystyle {}T_{n}=T\cap {\left(M\times N_{n}\right)}}$.Dann ist ${\displaystyle {}T_{n}\uparrow T}$ und damit auch ${\displaystyle {}T_{n}(x)\uparrow T(x)}$ für jedes${\displaystyle {}x\in M}$.Wenn wir für jedes${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die Messbarkeit von ${\displaystyle {}x\mapsto \nu (T_{n}(x))}$ gezeigt haben, so folgt sie wegenLemma 8.4auch für ${\displaystyle {}x\mapsto \nu (T(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (T_{n}(x))}$. Wir können also annehmen, dass${\displaystyle {}\nu (N)<\infty }$ist.

Wir wollen zeigen, dass für jedes${\displaystyle {}T\subseteq M\times N}$die Funktion ${\displaystyle {}x\mapsto \nu (T(x))}$ messbar ist.  Wie setzen

${\displaystyle {\mathcal {D}}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\mid {\text{Die Funktion }}x\mapsto \nu (T(x)){\text{ ist messbar}}\right\}}\,}$

und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader ${\displaystyle {}A\times B}$ zu ${\displaystyle {}{\mathcal {D}}}$. Es ist ja

${\displaystyle {}(A\times B)(x)={\begin{cases}B,{\text{ falls }}x\in A\\\emptyset {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}$

und damit ist

${\displaystyle {}\nu (T(x))=\nu (B)\cdot e_{A}(x)\,}$

messbar. Wir zeigen, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {D}}}$ einDynkin-Systemist. Es ist${\displaystyle {}M\times N\in {\mathcal {D}}}$. Seien${\displaystyle {}S\subseteq T}$Teilmengen, die zu ${\displaystyle {}{\mathcal {D}}}$ gehören. Dann ist${\displaystyle {}(T\setminus S)(x)=T(x)\setminus S(x)}$und ${\displaystyle {}\nu ((T\setminus S)(x))=\nu (T(x))-\nu (S(x))}$ist nachLemma 8.3messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung${\displaystyle {}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}}$ ist${\displaystyle {}T(x)=\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)}$.Wenn${\displaystyle {}T_{i}\in {\mathcal {D}}}$ für alle${\displaystyle {}i\in I}$ist, so ist die Funktion ${\displaystyle {}x\mapsto \nu (T(x))=\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))}$ nachKorollar 8.8wieder messbar.
Damit ist insgesamt ${\displaystyle {}{\mathcal {D}}}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra${\displaystyle {}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$ enthält. Deshalb ist${\displaystyle {}{\mathcal {D}}={\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$nachLemma 1.13.

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),}$

einMaßauf der Produkt-${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraist. Es sei dazu${\displaystyle {}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}}$eineabzählbare Zerlegunginpaarweise disjunktemessbare Teilmengen.NachAufgabe 10.10ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}}$

so dass die${\displaystyle {}\sigma }$-Additivitäterfüllt ist.
Für einen Quader ${\displaystyle {}A\times B}$ ist

${\displaystyle {}\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.}$

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaßmuss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.