???: Satz über die Abzählbarkeit von
Die Menge derrationalen Zahlen
istabzählbar.
???: Satz über die Überabzählbarkeit von
Die Menge derreellen Zahlen
ist nichtabzählbar.
???: Dynkin-System und
-Algebra
???: Messbarkeitskriterium für Abbildungen
???: Borel-Mengen und Quader
Die Menge derBorel-Mengenim stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten-Algebraüberein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalenEckpunkten beschränken.
???: Messbarkeit stetiger Abbildungen
Es seien und topologische Räume,die wir alsMessräumemit den zugehörigen-Algebrender Borelmengenauffassen.
Dann ist jedestetige Abbildung
-
messbar.
???: Rechenregeln für Prämaße
Es sei eine Menge, einPräringauf und einPrämaßauf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist .
- Für Mengen mit gilt. Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
- Für Mengen gilt.
- Seien, ,und aus mitDann gilt
-
- Es sei eine Ausschöpfungin . Dann ist
-
wobei diese Folge monoton wachsendist.
- Es sei eine Schrumpfungin und seivorausgesetzt. Dann ist
-
wobei diese Folge monoton fallendist.
???: Eindeutigkeitssatz für Maße
???: Fortsetzung von äußeren Maßen
???: Mengen mit Zerlegungseigenschaft zu äußerem Maß
???: Prämaß und Zerlegungseigenschaft
???: Fortsetzungssatz für Maße
???: Beschreibung des Produkt-Präringes
Es seien Mengen mit darauf erklärtenPräringen.
Dann besteht der Produkt-Präringaus allen endlichen disjunkten Vereinigungenvon Quadern.
???: Konstruktion des Produktprämaßes auf Quadern
Es seien Mengen mit darauf erklärtenPräringen undPrämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche disjunkte Vereinigung
-
von Quadern(wobei die Seiten endliches Maß haben)durch
-
mitdefinierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
- Es seien (insbesondere sei dies definiert).Dann ist die Zuordnung ein Prämaßauf demProdukt-Präring.
???: Produktsatz für Maße
Es seien -endlicheMaßräume gegeben.
Dann gibt es genau ein(-endliches)Maß auf der Produkt--Algebra, das für alle messbaren Quader(deren Seiten endliches Maß besitzen)den Wert
-
besitzt.
???: Das Borel-Lebesgue-Maß auf
???: Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes
Der sei mit der-AlgebraderBorel-Mengen versehen.
Dann gibt es auf genau ein(-endliches)Maß
-
das für alle Quader
-
den Wert
-
besitzt.
Die Aussage gilt auch für(achsenparallele)Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
???: Maß auf Untervektorräumen
???: Translationsinvariante Maße auf dem
.
DasBorel-Lebesgue-Maß
ist das einzige translationsinvariante Maßauf , das auf dem Einheitswürfel den Wert besitzt.
???: Translationsinvariante Maße
???: Die lineare Transformationsformel
Es sei
-
einelineare Abbildung.
Dann gilt für jedemessbare Mengedie Beziehung
-
???: Isometrie und Maßtreue
Einelineare Isometrie
-
istvolumentreu.
???: Kanonisches Maß auf euklidischem Vektorraum
???: Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt
Es sei eineuklidischer Vektorraum, sei eineBasisvon und sei das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für dasBorel-Lebesgue-Maß auf
-
???: Supremum von messbaren Funktionen
???: Grenzfunktion von messbaren Funktionen
Es sei einMessraum und sei
-
eineFolgevonmessbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiere.
Dann ist auch messbar.
???: Einfache Funktionen und messbare Funktion
Es sei einMessraum und sei
-
einemessbare numerischenichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine wachsende Folgevon nichtnegativeneinfachen Funktionen
-
die punktweise gegen konvergieren.
???: Subgraph einer messbaren Funktion
???: Charakterisierung von integrierbaren Funktionen
???: Graph einer messbaren Funktion
???: Tschebyschow-Abschätzung
???: Allgemeine Transformationsformel
Es sei ein-endlicherMaßraum, einMessraumund
-
einemessbare Abbildung.Es sei dasBildmaßvon unter , das ebenfalls als-endlichvorausgesetzt sei, und es sei
-
eine-integrierbare Funktion.
Dann ist auch -integrierbar,und es gilt
-
???: Satz von der monotonen Konvergenz
???: Riemann-integrierbare Funktionen und Maßtheorie
Es sei
-
einemessbareRiemann-integrierbareFunktion.
Dann gilt
-
???: Linearität des Integrals
Es sei ein-endlicherMaßraum. Es seien integrierbaremessbarereellwertigeFunktionenauf und.
Dann ist auch integrierbar, und es gilt
-
???: Lemma von Fatou
Es sei ein-endlicherMaßraum und es sei
-
eineFolgevon nichtnegativen messbarennumerischen Funktionen.
Dann gilt
-
???: Der Satz von der majorisierten Konvergenz
???: Stetige Abhängigkeit des Integrals
Es sei ein-endlicherMaßraum, einmetrischer Raum,und
-
eineFunktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle ist die Funktion messbar.
- Für alle ist die Funktion stetigin .
- Es gibt einenichtnegative messbare integrierbare Funktion
-
mit
-
für alle und alle.
Dann ist die Funktion
-
wohldefiniert und stetig in .
???: Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals
Es sei ein-endlicherMaßraum, ein nichtleeresoffenes Intervallund
-
eineFunktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.
- Für alle ist die Funktion integrierbar.
- Für alle ist die Funktion (stetig)differenzierbar.
- Es gibt einenichtnegativemessbare integrierbare Funktion
-
mit
-
für alle und alle.
Dann ist die Funktion
-
(stetig)differenzierbarin , die Zuordnung istintegrierbarund es gilt die Formel
-
???: Querschnittslemma
Es seien und -endliche Maßräume und sei einemessbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
-
und -
messbar.
???: Das Cavalieri-Prinzip (Integrationsversion)
Es seien und -endliche Maßräume.
Dann gilt für alle messbaren Teilmengen die Beziehung
-
???: Cavalieri-Prinzip (Verschiebungsversion)
Es sei ein-endlicherMaßraum und
-
einemessbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
-
bijektivundmaßtreu.
???: Volumen eines Rotationskörpers
Es sei
-
einenichtnegativemessbare Funktionund sei der RotationskörperzumSubgraphenvon um die -Achse.
Dann besitzt das Volumen
-
wobei für die zweite Formel als stetigvorausgesetzt sei.
???: Der Satz von Fubini
Es seien und -endliche Maßräume und sei
-
eineintegrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
-
und
-
fast überallreellwertig und fast überallintegrierbar,und es gilt
-
???: Integration des Produkts von zwei Funktionen über dem Produktraum
Es seien und -endliche Maßräume und es seien und integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
-
integrierbar und es gilt
-
???: Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen
Es sei offen und sei
-
einestetig differenzierbare Abbildung. Es sei eineNullmenge.
Dann ist auch eine Nullmenge.
???: Die Transformationsformel
???: Die Transformationsformel für Integrale
???: Transformationsformel für Polarkoordinaten
Es sei
-
diePolarkoordinatenauswertungund es seien und offene Mengen,auf denen einen Diffeomorphismusinduziert. Es sei
-
eine integrierbare Funktion.
Dann ist
-
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel
-
???: Fehlerintegral
Es ist
-
???: Stetigkeit linearer Abbildungen
???: Höldersche Ungleichung
Es seienreelle Zahlenmit
-
und es sei einMaßraum.Es seien
-
messbare Funktionen,die - bzw. -integrierbar seien.
Dann gilt
-
???: Minkowski-Ungleichung
???: Vollständigkeitssatz von Fischer-Riesz
???: Der Satz von Heine-Borel
???: Bild eines kompakten Raumes
???: Maximum auf kompakten Mengen
Es sei ein nichtleererkompaktertopologischer Raumund sei
-
einestetige Funktion.
Dann gibt es ein mit
-
D.h., dass die Funktion ihr Maximum(und ihr Minimum)annimmt.
???: Kompaktheit und Vollständigkeit
Einkompaktermetrischer Raum
istvollständig.
???: Charakterisierung von kompaktem metrischen Raum
???: Satz von Arzelà-Ascoli
???: Satz von Stone-Weierstrass
???: Approximationssatz von Weierstrass (eine Variable)
Es sei einabgeschlossenes Intervallundeinestetige Funktion.
Dann gibt es zu jedemeinreelles Polynom mit
-
für alle.
Die Polynomalgebra istdichtin .
???: Struktur der
-Räume
Es sei ein-endlicherMaßraum.
Dann ist der Lebesgueraum derquadratintegrierbarenFunktionen, versehen mit dem Skalarprodukt
-
einHilbertraum.
???: Minimale Norm in Hilbertraum
???: Orthogonale Zerlegung in Hilbertraum
???: Darstellungslemma von Riesz
Es sei ein-Hilbertraumund sei
-
einestetigeLinearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektormit
-
für alle.
???: Dichtheitskriterium im Hilbertraum
???: Koordinatendarstellung für die orthogonale Projektion
???: Satz über die kleinsten Fehlerquadrate
Es seien verschiedene reelle Zahlen,, und reelle Zahlen. Es seiund.
Dann ist dieaffin-lineare Funktion mit
-
und
-
die optimale lineare Approximation für den Datensatz
-
im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.
D.h. die Summe der Fehlerquadrate wird für die angegebenen Koeffizienten und minimal.
???: Besselsche Abschätzung
Es sei ein-Vektorraummit einemSkalarprodukt und sei, ,einOrthonormalsystem.
Dann ist für jeden Vektordie Familie, ,summierbarund es gilt
-
???: Charakterisierung von vollständigen Orthonormalsystemen
Es sei ein-Vektorraummit einemSkalarprodukt und sei, ,einOrthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie istvollständig.
- Für jedesgilt
-
- Für jedesgilt
-
???: Ergänzung von einem Orthonormalsystem in einem Hilbertraum
???: Vollständiges periodisches Orthonormalsystem
???: Konvergenz der Fouriereihe im stetigen Fall
Es seieineperiodischestetigeund stückweisestetig differenzierbareFunktion.
Dann konvergiert die Fourierreihevon gleichmäßigund insbesonderepunktweisegegen .
???: Fourierreihe der Sägezahnfunktion
Die Identität auf dem Einheitsintervall(die Sägezahnfunktion)
besitzt die Fourierreihe
-
???: Summe der Quadratkehrwerte
Es ist
-
???: Legendre-Polynome als Orthonormalsystem
???: Tschebyschow-Polynome und Kosinus
Für das -teTschebyschow-Polynomgilt
-
für alle.
???: Minimales Betragsmaximum von Polynomen
Es sei ein reellesnormiertes Polynomvom Grad .
Dann ist
-
???: Tschebyschow-Polynome als Orthogonalsystem
???:
Es sei einendlicherMaßraummit dem Produktraum und sei
-
einbeschränktermessbarer Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
-
mit
-
einestetigerlinearer Operator.
???:
Es sei einkompaktermetrischer Raummit einemendlichenMaß auf . Es sei
-
einstetigerIntegralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
-
mit
-
einkompakter Operator.
???:
Es sei einkompaktes Intervall,
-
ein stetiger Integralkern mit undeine stetige Funktion.
Dann gibt es zur jeder reellen Zahl miteine eindeutige Lösungsfunktionmit
-
???:
Die Fourier-Transformation
-
ist linear.
???:
Für dieFourier-Transformationvon
gilt
-
D.h. die Dichte der Normalverteilungist einFixpunktfür die Fourier-Transformation.
???: Faltungssatz
Es seienintegrierbare Funktionen.
Dann gilt für die Fourier-TransformationderFaltungdie Beziehung
-
???:
Die Fourier-Transformation einerintegrierbaren Funktion
istgleichmäßig stetig.
???: Fourier-Transformation und Ableitung
Es seieine Funktion und sei. Für jedes Tupel mitsei integrierbar.
Dann ist dieFourier-Transformierte von in Richtung partiell differenzierbarund es gilt
-
???:
Es seien
-
integrierbare Funktionenmit denFourier-Transformierten bzw. .
Dann gilt
-
???: Umkehrsatz für die Fourier-Transformation
Für eine stetigebeschränkteFunktion
gilt
-