Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 6

Es seien${\displaystyle {}[a,b[}$ und ${\displaystyle {}[c,d[}$ zwei halboffene Intervalle(mit ${\displaystyle {}a\leq b}$ und ${\displaystyle {}c\leq d}$). Beschreibe den Durchschnitt ${\displaystyle {}[a,b[\cap [c,d[}$ als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.

Zeige, dass es zu einer disjunkten Vereinigung von endlich vielen halboffenen Intervallen ${\displaystyle {}[a_{i},b_{i}[}$ eine eindeutige Darstellung gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass die Anzahl der beteiligten Intervalle unter allen möglichen Darstellungen minimal ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen,reellen Intervallenbesteht. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ kein Mengen-Präringist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen,abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten reellen Intervallenbesteht. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ eine Mengenalgebraist.

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }$,die man als eine abzählbaredisjunkte Vereinigungvon rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.

Zeige, dass unter einer polynomialen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

vom Grad ${\displaystyle {}\neq 1}$ das Urbild eines rechtsseitig halboffenen Intervalls nicht rechtsseitig halboffen sein muss.

Es sei${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$einemessbarebeschränkte Teilmenge.Zeige, dass${\displaystyle {}\lambda ^{n}(T)<\infty }$ist.

Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }$ eineBorel-Menge.Zeige, dass

${\displaystyle {}\lambda (T)=\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}\,}$

mit

${\displaystyle \inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}],\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}}$

und mit

${\displaystyle \inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}]a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}}$

übereinstimmt.

Es seien endlich vielelinear unabhängigeVektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben und es sei

${\displaystyle {}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,}$

das dadurch erzeugteParallelotop.Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ beschränktist.

Es sei${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$,${\displaystyle {}n\geq 1}$,einenichtleereoffene Teilmenge.Zeige, dass${\displaystyle {}\lambda ^{n}(U)>0}$ist. Zeige ebenso, dass dies für abgeschlossene Mengennicht gelten muss.

Man gebe ein Beispiel für ein${\displaystyle {}\sigma }$-endliches Maß ${\displaystyle {}\mu }$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert ${\displaystyle {}\infty }$ besitzt.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$reelle Vektorräumeund

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eineinjektivelineare Abbildung.Zeige, dass dasBildeines Parallelotopswieder ein Parallelotop ist.

Zeige, dass dasZählmaßauf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$translationsinvariant,aber auf dem Einheitswürfel nicht beschränkt ist.

Zeige, dass dasGittermaßzum Gitterabstand ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ nichttranslationsinvariant,aber auf dem Einheitswürfel beschränkt ist.

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${\displaystyle {}13}$ cm, der Topf sei ${\displaystyle {}10}$ cm hoch und auf die Höhe von ${\displaystyle {}7{,}7}$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${\displaystyle {}8{,}8}$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel(rechne mit ${\displaystyle {}\pi =3{,}14}$; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${\displaystyle {}30}$ cm und wird mit Öl und mit ${\displaystyle {}25}$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${\displaystyle {}4}$ cm und eine Höhe von ${\displaystyle {}0{,}5}$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${\displaystyle {}0{,}1}$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${\displaystyle {}1}$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne(rechne mit ${\displaystyle {}\pi =3{,}14}$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von ${\displaystyle {}12}$ cm und einen inneren Durchmesser von ${\displaystyle {}4}$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von ${\displaystyle {}20}$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen ${\displaystyle {}30}$ und ${\displaystyle {}20}$ cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von ${\displaystyle {}0{,}5}$ cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens ${\displaystyle {}3057}$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens ${\displaystyle {}2607}$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?

Es seien${\displaystyle {}I=[a,b]}$ und${\displaystyle {}J=[c,d]}$reelle Intervalle und es seien${\displaystyle {}\mu _{I}}$ bzw. ${\displaystyle {}\mu _{J}}$die zugehörigen Maße auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$, die jeweils auf den Intervallen gleichverteilt sind. Bestimme ${\displaystyle {}\mu _{I}*\mu _{J}}$.

Zeige, dass sich eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }$ genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {V}}}$ derMengen-Präringaller Teilmengen${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }$,die sich als eine endliche Vereinigung von (rechtsseitig)halboffenen Intervallen${\displaystyle {}[a,b[}$ schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen.

1. Die zu ${\displaystyle {}V}$ über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle

   ${\displaystyle {}V=[a_{1},b_{1}[\uplus \ldots \uplus [a_{n},b_{n}[\,}$

   definierte Zahl

   ${\displaystyle {}\mu (V)=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,}$

   ist wohldefiniert.

2. Durch die Zuordnung ${\displaystyle {}V\mapsto \mu (V)}$ wird einPrämaßauf diesem Präring definiert.

Die Cantor-Menge ist definiert durch

${\displaystyle C={\left\{\sum _{i=1}^{\infty }z_{i}3^{-i}\mid z_{i}\in \{0,2\}{\text{ für alle }}i\in \mathbb {N} _{+}\right\}}.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}C}$ überabzählbar ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}C}$ eineBorel-Menge ist.

c) Zeige ${\displaystyle {}\lambda ^{1}(C)=0}$.

Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eineBasisdes ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass das von diesen Vektoren erzeugte Parallelotopeinen achsenparallelen Würfel(mit positiver Länge)enthält.

Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ einMaß auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$, das für alleoffenen Bällen${\displaystyle {}U{\left(P,r\right)}}$ mit dem Borel-Lebesgue-Maßübereinstimmt. Zeige ${\displaystyle {}\mu =\lambda ^{n}}$.

Man gebe eine Beispiel für eineoffene Menge${\displaystyle {}U\subseteq [0,1]}$,deren AbschlussdasEinheitsintervall ist, derenBorel-Lebesgue-Maßaber kleiner als ${\displaystyle {}1}$ ist.