Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 5

Wir betrachten die beiden Rechtecke

${\displaystyle Q=[-1,2]\times [1,4]\,\,{\text{ und }}\,\,L=[1,5]\times [3,6]}$

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$

Zeige, dass das durch die drei Punkte ${\displaystyle {}(0,0),(0,1)}$ und ${\displaystyle {}(1,0)}$ gegebene abgeschlossene Dreieck nicht zumProduktpräring von${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))}$ und ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))}$gehört.

Es seien${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ und ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}})}$Messräumeund es sei ${\displaystyle {}\mu }$ das in ${\displaystyle {}x\in M}$konzentrierteDirac-Maßauf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}\nu }$ das in ${\displaystyle {}y\in N}$ konzentrierte Dirac-Maß auf ${\displaystyle {}N}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu \otimes \nu }$ das in ${\displaystyle {}(x,y)}$ konzentrierte Dirac-Maß auf ${\displaystyle {}M\times N}$ ist.

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraaller Teilmengen und mit dem Zählmaß(genannt ${\displaystyle {}\mu }$ bzw. ${\displaystyle {}\nu }$)versehen seien.

a) Zeige, dass${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ ${\displaystyle {}\sigma }$-endliche Maßräumesind.

b)Zeige, dass das Produktmaß ${\displaystyle {}\mu \otimes \nu }$ auf ${\displaystyle {}M\times N}$ ebenfalls das Zählmaß ist.

Es seien${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ und ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}})}$Messräumeund es sei ${\displaystyle {}\mu }$ das zur Belegungsfunktion

${\displaystyle b\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto b_{x},}$

gehörigeMaßauf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}\nu }$ das zur Belegungsfunktion

${\displaystyle c\colon N\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,y\longmapsto c_{y},}$

gehörige Maß auf ${\displaystyle {}N}$(diese Maße seien als${\displaystyle {}\sigma }$-endlichangenommen).Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu \otimes \nu }$ das zur Belegungsfunktion

${\displaystyle M\times N\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq },\,(x,y)\longmapsto b_{x}c_{y},}$

gehörige Maß auf ${\displaystyle {}M\times N}$ ist.

Es seien${\displaystyle {}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})}$ und ${\displaystyle {}(M_{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})}$zwei${\displaystyle {}\sigma }$-endliche Maßräume,es seien${\displaystyle {}(N_{1},{\mathcal {B}}_{1})}$ und ${\displaystyle {}(N_{2},{\mathcal {B}}_{2})}$zweiMessräumeund es seien

${\displaystyle \varphi _{1}\colon M_{1}\longrightarrow N_{1}}$

und

${\displaystyle \varphi _{2}\colon M_{2}\longrightarrow N_{2}}$

zweimessbare Abbildungen,unter denen die Bildmaße${\displaystyle {}(\varphi _{1})_{*}\mu _{1}}$ und ${\displaystyle {}(\varphi _{2})_{*}\mu _{2}}$${\displaystyle {}\sigma }$-endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der Produktabbildung${\displaystyle {}\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}}$die Gleichung

${\displaystyle {}\varphi _{*}(\mu _{1}\otimes \mu _{2})=((\varphi _{1})_{*}\mu _{1})\otimes ((\varphi _{2})_{*}\mu _{2})\,}$

gilt.

Es seien${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ und ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}},\nu )}$endliche Maßräumeund ${\displaystyle {}(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )}$ ihrProduktmaßraum.Zeige, dass dasBildmaßvon ${\displaystyle {}\mu \otimes \nu }$ unter der Projektion

${\displaystyle M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,}$

gleich (dem umskalierten Maß)${\displaystyle {}\nu (N)\cdot \mu }$ ist.

Man gebe ein Beispiel fürendliche Maßräumeund einem Maß ${\displaystyle {}\lambda }$ auf ${\displaystyle {}(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})}$, das nicht das Produktmaßist, das aber

${\displaystyle {}\lambda (S\times N)=\mu (S)\times \nu (N)\,}$

und

${\displaystyle {}\lambda (M\times T)=\mu (M)\times \nu (T)\,}$

für alle messbaren Teilmengen ${\displaystyle {}S\subseteq M}$ und ${\displaystyle {}T\subseteq N}$ erfüllt.

${\displaystyle B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}}$

${\displaystyle {}[a,b]\times [c,d]\subseteq B\left(0,1\right)}$

(mit ${\displaystyle a\leq b}$ und ${\displaystyle c\leq d}$)überdecken lässt.

Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zuLemma 5.3  (1)am Beispiel des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.

Man erläutereLemma 5.3  (2)anhand des Bildes.

Zum${\displaystyle {}\sigma }$-endlichenMaßen${\displaystyle {}\mu }$ und ${\displaystyle {}\nu }$auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ nennt man dasBildmaßdesProduktmaßes${\displaystyle {}\mu \otimes \nu }$ unter der Addition

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x,y)\longmapsto x+y,}$

dieFaltung der beiden Maße. Sie wird mit ${\displaystyle {}\mu *\nu }$ bezeichnet.

Zeige, dass dasDirac-Maß${\displaystyle {}\delta _{0}}$ dasneutrale Elementfür die Faltungsverknüpfungist.

Bestimme dieFaltung${\displaystyle {}\delta _{P}*\delta _{Q}}$ vonDirac-Maßen${\displaystyle {}\delta _{P},\delta _{Q}}$ zu Punkten${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Zeige, dass dieoffeneEinheitskreisscheibe nicht zumProduktpräring von${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))}$ und ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))}$gehört.

Es sei ${\displaystyle {}T}$ die Vereinigung der drei Quader

${\displaystyle Q_{1}=[2,7]\times [1,3],\,Q_{2}=[1,4]\times [2,5]{\text{ und }}Q_{3}=[3,6]\times [4,6]}$

im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$. Bestimme

${\displaystyle T(x)={\left\{y\in \mathbb {R} \mid (x,y)\in T\right\}}}$

für jedes ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und

${\displaystyle T^{a}={\left\{x\in \mathbb {R} \mid \lambda (T(x))=a\right\}}}$

für jedes ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$(dabei ist ${\displaystyle {}\lambda }$ einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich ${\displaystyle {}T(x)}$ zusammensetzt).

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {E}},\mu )}$ einWahrscheinlichkeitsraum.Man nennt zwei${\displaystyle {}\sigma }$-Algebren${\displaystyle {}{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {E}}}$unabhängig, wenn für jedes${\displaystyle {}A\in {\mathcal {A}}}$ und jedes ${\displaystyle {}B\in {\mathcal {B}}}$die Gleichheit

${\displaystyle {}\mu (A\cap B)=\mu (A)\cdot \mu (B)\,}$

gilt.

Es seien${\displaystyle {}(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})}$ und ${\displaystyle {}(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})}$ zwei Wahrscheinlichkeitsräumeund ${\displaystyle {}(\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2},\mu _{1}\otimes \mu _{2})}$ ihrProduktraum.Zeige, dass die „Zylinderalgebren“

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{1}={\left\{S\times \Omega _{2}\mid S\in {\mathcal {A}}_{1}\right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathcal {Z}}_{2}={\left\{\Omega _{1}\times T\mid T\in {\mathcal {A}}_{2}\right\}}}$

unabhängigsind.