Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 2

Es sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ einmetrischer Raum. Zeige, dass in ${\displaystyle {}M}$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ gibt es offene Mengen${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$ mit

${\displaystyle x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .}$

Zeige, dass in einemHausdorff-Raum${\displaystyle {}X}$ jeder Punkt${\displaystyle {}x\in X}$abgeschlossenist.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folgein einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Man sagt, dass die Folge gegen${\displaystyle {}x\in X}$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jederoffenen Umgebung${\displaystyle {}U\subseteq X}$von ${\displaystyle {}x}$ gibt es ein${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$die Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{n}}$ zu ${\displaystyle {}U}$ gehören.

In diesem Fall heißt ${\displaystyle {}x}$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.}$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert(ohne Bezug auf einen Grenzwert),andernfalls, dass sie divergiert.

Es sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ einmetrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folgein ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass die Folge in ${\displaystyle {}M}$ genau dann im Sinne der Metrikkonvergiert,wenn sie im Sinne der Topologiekonvergiert.

Zeige, dass eine Folge${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einemHausdorffraum${\displaystyle {}X}$ höchstens einenGrenzwertbesitzt.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folgein einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Ein Punkt ${\displaystyle {}x\in X}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jederoffenen Umgebung${\displaystyle {}U}$ von ${\displaystyle {}x}$ unendlich viele Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{n}}$ liegen.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eineFolgein einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}x\in X}$.Es gebe eine gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergenteTeilfolge.Zeige, dass ${\displaystyle {}x}$ einHäufungspunktder Folge ist.

Eine Teilmenge${\displaystyle {}T\subseteq X}$einestopologischen Raumes${\displaystyle {}X}$ heißt dicht, wenn für jede nichtleere offene Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$ die Beziehung${\displaystyle {}T\cap U\neq \emptyset }$gilt.

Man beschreibe einentopologischen Raum,der aus zwei Punkten besteht, wobei der eine Punkt dichtund der andere Punkt nicht dicht sei.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raummit einerabzählbaren Basis.Zeige, dass dann auch jeder Unterraum${\displaystyle {}Y\subseteq X}$mit derinduzierten Topologieeine abzählbare Basis besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raummit einerabzählbaren Basis.Zeige, dass es zu jeder Überdeckung${\displaystyle {}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$mit offenen Mengen${\displaystyle {}U_{i}}$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eineFolgein einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$, der eine abzählbare Basisbesitze, und sei${\displaystyle {}x\in X}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}x}$ genau dann einHäufungspunktder Folge ist, wenn es eine gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergenteTeilfolgegibt.

Es sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {T}})}$ eintopologischer Raumund sei ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra.Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

${\displaystyle (U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})}$

mit offenen Mengen ${\displaystyle {}U_{1},\ldots ,U_{n}}$ und abgeschlossenen Mengen ${\displaystyle {}A_{1},\ldots ,A_{n}}$ besteht.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

einemessbare Funktion.Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen ${\displaystyle {}f}$ stetigist, weder offennochabgeschlossensein muss.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

einemessbare Funktion.Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen ${\displaystyle {}f}$ stetigist, eine messbare Teilmengevon ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge derNullmengen von ${\displaystyle {}M}$ ein Mengen-Präring ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

${\displaystyle {\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu (T)<\infty \right\}},}$

einen Mengen-Präring,aber im Allgemeinen keineMengen-Algebrabilden.

Es sei ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {B}})}$ ein Messraum und ${\displaystyle {}\mu }$ und ${\displaystyle {}\nu }$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

${\displaystyle {}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,}$

für${\displaystyle {}T\in {\mathcal {B}}}$definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

${\displaystyle {}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,}$

für${\displaystyle {}T\in {\mathcal {B}}}$definierte Abbildung ein Maß?

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$.Zeige, dass durch

${\displaystyle {}\lambda (T):=c\mu (T)\,}$

ein Maß auf ${\displaystyle {}M}$ definiert ist.^[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit${\displaystyle {}\mu (T)=\infty }$.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraum,der als abzählbare disjunkte Vereinigung

${\displaystyle {}M=\bigcup _{i\in I}M_{i}\,}$

mit${\displaystyle {}M_{i}\in {\mathcal {A}}}$ gegeben ist. Es seien${\displaystyle {}\mu _{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,Maße auf ${\displaystyle {}(M_{i},{\mathcal {A}}{|}_{M_{i}})}$. Zeige, dass es ein eindeutiges Maß ${\displaystyle {}\mu }$ auf ${\displaystyle {}M}$ derart gibt, dass die Einschränkungen von ${\displaystyle {}\mu }$ auf die ${\displaystyle {}(M_{i},{\mathcal {A}}{|}_{M_{i}})}$ mit ${\displaystyle {}\mu _{i}}$ übereinstimmen.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraum. Wir nennen ein Maß auf ${\displaystyle {}M}$ explosiv, wenn es lediglich die Werte${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}\infty }$annimmt.

a) Zeige, dass (für${\displaystyle {}T\in {\mathcal {A}}}$)durch

${\displaystyle {}\gamma (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}T=\emptyset \,,\\\infty ,{\text{ falls }}T\neq \emptyset \,,\end{cases}}\,}$

ein Maß definiert ist.

b) Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ ein Maß auf ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle {}\lambda (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\mu (T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\mu (T)>0\,,\end{cases}}\,}$

ebenfalls ein Maß definiert ist.

Bestimme die Belegungsfunktion zu einemDirac-Maß.

Man mache sich klar, dass dieMaßtheorieauf den natürlichen Zahlen${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihenmit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?

DerMessraum${\displaystyle {}(\mathbb {N} _{+},{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} _{+}))}$ sei mit demMaßversehen, bei der die Zahl ${\displaystyle {}n}$ den Wert${\displaystyle {}\mu (n)={\frac {1}{n}}}$erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {N} _{+}}$den Wert ${\displaystyle {}\mu (T)}$.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraum und sei

${\displaystyle f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Folgevonmessbaren Funktionen.Zeige, dass

${\displaystyle {\left\{x\in M\mid f_{n}(x){\text{ konvergiert}}\right\}}}$

messbarist.

Zeige, dass es eine abzählbare Familievon offenen Bällenim ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ gibt, die eineBasis der Topologiebilden.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorff-Raumund es seien ${\displaystyle {}T_{1},T_{2}\subseteq X}$ zwei disjunkteendliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen${\displaystyle {}U_{1},U_{2}\subseteq X}$mit${\displaystyle {}T_{1}\subseteq U_{1}}$, ${\displaystyle {}T_{2}\subseteq U_{2}}$ und mit${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}=\emptyset }$ gibt.

Zeige, dass es auf jedemendlichdimensionalenreellen Vektorraumein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.

Zeige, dass die Menge derstetigen wachsenden Funktionen

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

mit${\displaystyle {}f(\mathbb {Q} )\subseteq \mathbb {Q} }$,mit${\displaystyle {}f(\mathbb {R} _{\leq 0})=0}$ und${\displaystyle {}f(\mathbb {R} _{\geq 1})=1}$überabzählbarist.