Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 16

Es sei${\displaystyle {}p\geq 1}$ eine reelle Zahlund ${\displaystyle {}X}$ einMaßraum.Zeige, dass die Menge ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}^{p}(X)}$ der${\displaystyle {}p}$-integrierbaren Funktionenein${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Vektorraumist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einMaßraum.Zeige, dass für einemessbare Funktion${\displaystyle {}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }}$folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist${\displaystyle {}f=0}$fast überall.
2. Es gibt ein${\displaystyle {}p\geq 1}$mit

   ${\displaystyle {}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.}$

3. Für alle${\displaystyle {}p\geq 1}$ist

   ${\displaystyle {}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.}$

Es sei${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$eineoffeneTeilmenge und sei ${\displaystyle {}L^{2}(U,\lambda ^{n})}$ der zugehörige${\displaystyle {}L^{2}}$-Raum.Zeige, dass es für jede Funktionsklasse${\displaystyle {}f\in L^{2}(U,\lambda ^{n})}$einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.

Zeige, dass für einen${\displaystyle {}\sigma }$-endlichenMaßraumdie Identität auf dem reellen Vektorraum${\displaystyle {}V}$ aller beschränktenintegrierbaren Funktionenim Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der Supremumsnormund den Zielraum mit der ${\displaystyle {}L^{1}}$-Halbnormversieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.

Zeige, dass auf ${\displaystyle {}]0,1]}$ die Funktion ${\displaystyle {}x^{-1}}$ für kein${\displaystyle {}p\geq 1}$${\displaystyle {}p}$-integrierbarist.

Zeige, dass auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{\geq 1}}$ die Funktion ${\displaystyle {}x^{-1}}$ für${\displaystyle {}p=1}$nicht${\displaystyle {}p}$-integrierbar,aber für jedes${\displaystyle {}p>1}$${\displaystyle {}p}$-integrierbarist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einendlicher Maßraumund sei${\displaystyle {}1\leq p\leq q}$.Zeige${\displaystyle {}{\mathcal {L}}^{q}(X)\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X)}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Maßraum,${\displaystyle {}x\in X}$ein fixierter Punkt und${\displaystyle {}p\geq 1}$.

1. Zeige, dass die Auswertung

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),}$

   im Allgemeinen nichtstetigist, wenn ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}^{p}(X)}$ mit der${\displaystyle {}p}$-Halbnormversehen ist.

2. Zeige, dass die Auswertung an ${\displaystyle {}x}$ auf ${\displaystyle {}L^{p}(X)}$ nicht wohldefiniert ist.

Es sei ${\displaystyle {}(X,\mu )}$ einMaßraumund${\displaystyle {}p\geq 1}$.Es seien ${\displaystyle {}f,g}$ messbare Funktionen und seien ${\displaystyle {}f_{n}}$ und ${\displaystyle {}g_{n}}$ Folgen von messbaren Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}f=g}$fast überall und es sei${\displaystyle {}f_{n}=g_{n}}$fast überall. Zeige, dass ${\displaystyle {}f_{n}}$ fast überall gegen ${\displaystyle {}f}$ genau dann konvergiert, wenn ${\displaystyle {}g_{n}}$ fast überall gegen ${\displaystyle {}g}$ konvergiert.

Es sei${\displaystyle {}0<p<1}$.Zeige, dass auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ für${\displaystyle {}n\geq 2}$durch

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert _{p}:={\left(v_{1}^{p}+\cdots +v_{n}^{p}\right)}^{1/p}\,}$

keineNormdefiniert wird.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein${\displaystyle {}\sigma }$-endlicherMaßraumund${\displaystyle {}Z\subseteq X}$einemessbare Teilmenge.Zeige, dass es(zu${\displaystyle {}p\geq 1}$)eine natürliche Untervektorraumbeziehung

${\displaystyle {}L^{p}(Z)\subseteq L^{p}(X)\,}$

gibt, die die${\displaystyle {}p}$-Normerhält.

Sei${\displaystyle {}\alpha \in \mathbb {R} _{\geq 1}}$.Man gebe ein Beispiel für einen${\displaystyle {}\sigma }$-endlichen Maßraum${\displaystyle {}M}$ und eine messbare Funktion${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$,die${\displaystyle {}p}$-integrierbarist für jedes${\displaystyle {}1\leq p<\alpha }$und nicht ${\displaystyle {}p}$-integrierbar ist für${\displaystyle {}p>\alpha }$.

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiertund die für kein${\displaystyle {}p\geq 1}$${\displaystyle {}p}$-summierbarist.