Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 1

Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?

Was ist das Volumen(der Inhalt, das Maß)eines einzelnen Punktes im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{0}}$, im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{1}}$, im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ u.s.w.?

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}{\mathcal {C}}}$ das Mengensystemauf ${\displaystyle {}M}$, das aus allen endlichen Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ besteht. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {C}}}$ einMengen-Präringist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}{\mathcal {C}}}$ das Mengensystemauf ${\displaystyle {}M}$, das aus allen endlichen Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ und deren Komplementenbesteht. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {C}}}$ eineMengenalgebraist.

Zeige, dass eineMengenalgebrainsbesondere einMengen-Präringist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M)}$ mit dem Durchschnitt ${\displaystyle {}\cap }$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${\displaystyle {}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,}$

als Addition(mit welchen neutralen Elementen?)einkommutativer Ringist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und sei${\displaystyle {}{\mathcal {P}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)}$einMengensystem.Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {P}}}$ genau dann einMengen-Präringist, wenn es die drei Bedingungen

1. ${\displaystyle {}\emptyset \in {\mathcal {P}}}$.
2. Mit${\displaystyle {}A,B\in {\mathcal {P}}}$ist auch${\displaystyle {}A\triangle B\in {\mathcal {P}}}$.
3. Mit${\displaystyle {}A,B\in {\mathcal {P}}}$ist auch${\displaystyle {}A\cap B\in {\mathcal {P}}}$

erfüllt.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}{\mathcal {R}}}$ einMengensystem auf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {R}}}$ genau dann eine Mengenalgebraist, wenn es einUnterring des Potenzmengenringes ${\displaystyle {}({\mathfrak {P}}\,(M),\triangle ,\cap )}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und es bezeichne ${\displaystyle {}A\triangle B}$ diesymmetrische Differenzfür Mengen${\displaystyle {}A,B\subseteq M}$.Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${\displaystyle {}A\setminus B={\left(A\triangle B\right)}\cap A\,.}$

2. ${\displaystyle {}A\cup B=A\triangle B\triangle (A\cap B)\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und es bezeichne ${\displaystyle {}A\triangle B}$ diesymmetrische Differenzfür Mengen${\displaystyle {}A,B\subseteq M}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}A_{1}\triangle A_{2}\triangle \cdots \triangle A_{n}}$ genau aus den Elementen besteht, die in einer ungeraden Anzahl der ${\displaystyle {}A_{i}}$ enthalten sind.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eine${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

1. Es ist${\displaystyle {}\emptyset \in {\mathcal {A}}}$.
2. Mit${\displaystyle {}S,T\in {\mathcal {A}}}$gehört auch ${\displaystyle {}T\setminus S}$ zu ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${\displaystyle {}T_{i}\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,ist auch

   ${\displaystyle {}\bigcap _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ dasMengensystemauf ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$, das aus allen Teilmengen${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {N} }$ besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eineMengenalgebra,aber keine${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraist.

Es sei${\displaystyle {}A_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,eine Folge von Teilmengen in einer Menge ${\displaystyle {}M}$ mit

${\displaystyle {}A_{n+1}\subseteq A_{n}\,}$

für alle ${\displaystyle {}n}$. Bestimme den Limes inferiorund den Limes superiorder Familie in diesem Fall.

Es sei${\displaystyle {}\epsilon >0}$fixiert und sei

${\displaystyle {}A_{q}=]q-\epsilon ,q+\epsilon [\,}$

die ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}q}$. Bestimme den Limes inferiorund den Limes superiordieser (abzählbaren)Familie.

Es seien

${\displaystyle {}A_{k}={\left\{x\in [0,1[\mid {\text{die }}k{\text{-te Nachkommastelle von }}x{\text{ in der Dezimalentwicklung ist }}0\right\}}\,.}$

Bestimme denLimes inferiorund denLimes superiorvon dieser Mengenfolge.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und sei${\displaystyle {}{\mathcal {A}}_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$,eine beliebige Familievon${\displaystyle {}\sigma }$-Algebrenauf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass der Durchschnitt

${\displaystyle {}{\mathcal {A}}=\bigcap _{j\in J}{\mathcal {A}}_{j}\,}$

ebenfalls eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle {}M}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraumund${\displaystyle {}N\subseteq M}$eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem

${\displaystyle N\cap T,\,T\in {\mathcal {A}},}$

eine${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraauf ${\displaystyle {}N}$ ist(man spricht von der induzierten ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra).

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und${\displaystyle {}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {E}}'}$seienMengensysteme.Dabei sei ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}'}$ in der von ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}}$ erzeugten${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra${\displaystyle {}\sigma ({\mathcal {E}})}$ enthalten. Zeige

${\displaystyle {}\sigma {\left({\mathcal {E}}\right)}=\sigma {\left({\mathcal {E}}'\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine endliche Menge mit einer geraden Anzahl. Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ das Mengensystem, das aus allen Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ besteht, die eine gerade Anzahl besitzen. Zeige, dass${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ einDynkin-Systemist und dass ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ im Allgemeinen nicht durchschnittsstabil ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ einMengensystemauf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ genau dann eindurchschnittsstabilesDynkin-Systemist, wenn ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraist.

Zeige, dass messbare AbbildungenzwischenMessräumendie folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
2. Jede konstante Abbildung ist messbar.
3. Die Identität ist messbar.
4. Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$zwei${\displaystyle {}\sigma }$-Algebren auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$. Dann ist die Identität auf ${\displaystyle {}M}$ genau dann ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}}$-messbar, wenn${\displaystyle {}{\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraumund es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit der ganzenPotenzmengeals${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraversehen. Es sei${\displaystyle {}T\subseteq M}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ genau dannmessbarist, wenn dieIndikatorfunktion

${\displaystyle e_{T}\colon M\longrightarrow \mathbb {Z} }$

messbarist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ das Mengensystem auf ${\displaystyle {}M}$, das aus allen abzählbaren Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eine${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Menge und sei ${\displaystyle {}k}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass die Menge der Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$, deren Elementanzahl ein Vielfaches von ${\displaystyle {}k}$ ist, einDynkin-Systembilden, das bei${\displaystyle {}k\neq 1,n}$ keineMengen-Algebra ist.

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$Mengen und es sei

${\displaystyle F\colon M\longrightarrow N}$

eineAbbildung.

a) Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eine${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraauf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass das Mengensystem

${\displaystyle {\left\{T\subseteq N\mid F^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}}$

eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle {}N}$ ist.

b) Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}}$ eine${\displaystyle {}\sigma }$-Algebraauf ${\displaystyle {}N}$. Zeige, dass das Mengensystem

${\displaystyle {\left\{F^{-1}(T)\mid T\in {\mathcal {B}}\right\}}}$

eine ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle {}M}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ einMessraum und es sei${\displaystyle {}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}}$eine Zerlegungvon ${\displaystyle {}M}$ in abzählbarviele messbare Teilmengen.Es sei

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

eineAbbildungin einen weiteren Messraum ${\displaystyle {}(N,{\mathcal {B}})}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dannmessbarist, wenn sämtliche Einschränkungen

${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi {|}_{M_{i}}\colon M_{i}\longrightarrow N}$

messbar sind.