Kurs:Lineare Algebra I/Endlich erzeugte Vektorräume

Die Rechengesetze der reellen Zahlen stehen Modell für den Begriff eines (Zahl-)Körpers:

Definition 2.1 Bearbeiten

Ein Körper K ist eine Menge mit zwei (Rechen-)Operationen:

(a) Addition:

${\displaystyle +:K\times K\rightarrow K,(a,b)\mapsto a+b.}$

Die Addition erfüllt die folgenden Regeln: (${\displaystyle a,b,c\in K}$ beliebig)

(${\displaystyle a_{1}}$ ) Assoziativität: ${\displaystyle {\begin{matrix}a+(b+c)=(a+b)+c\end{matrix}};}$

(${\displaystyle a_{2}}$ ) Existenz eines neutralen Elementes (Nullelement): ${\displaystyle \exists 0,\forall a:0+a=a;}$

(${\displaystyle a_{3}}$ ) Existenz eines Negativen: ${\displaystyle \forall a,\exists (-a):(-a)+a=0;}$

(${\displaystyle a_{4}}$ ) Kommutativität: ${\displaystyle {\begin{matrix}a+b=b+a\end{matrix}}.}$

(b) Multiplikation:

${\displaystyle \cdot :K\times K\rightarrow K,(a,b)\mapsto a\cdot b.}$

Die Multiplikation erfüllt die folgenden Regeln:

(${\displaystyle b_{1}}$ ) Assoziativität: ${\displaystyle {\begin{matrix}a(bc)=(ab)c\end{matrix}};}$

(${\displaystyle b_{2}}$ ) Existenz eines neutralen Elementes (Einselement): ${\displaystyle \exists 1\neq 0,\forall a:1a=a;}$

(${\displaystyle b_{3}}$ ) Existenz eines Inversen: ${\displaystyle \forall a\neq 0,\exists (a^{-1}):a^{-1}a=1;}$

(${\displaystyle b_{4}}$ ) Kommutativität: ${\displaystyle {\begin{matrix}a\cdot b=b\cdot a\end{matrix}}.}$

Ferner gilt die

(${\displaystyle d_{1}}$ ) Distributivität: ${\displaystyle {\begin{matrix}a(b+c)=ab+ac\end{matrix}}.}$

Außer den reellen Zahlen bildet die Menge der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ einen Körper, nicht jedoch die Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , da zum Beispiel für ${\displaystyle 2}$ das Inverse ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ nicht in der Menge ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist. Die Menge ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}:=\{0,1\}}$ ist ein Körper bzgl. der Festlegungen: ${\displaystyle {\begin{matrix}0+0=0,0+1=1,1+1=0\end{matrix}},}$ ${\displaystyle 0\cdot 0=0,}$ ${\displaystyle 0\cdot 1=0,}$ ${\displaystyle 1\cdot 1=1.}$ Man stelle sich dabei vor: 0 steht für gerade ganze Zahlen und 1 steht für ungerade ganze Zahlen. Wir werden an geeigneter Stelle weitere Körper kennen lernen.

Das Modell des reellen Standardraumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist Modell für die Definition des abstrakten Vektorraumes.

Definition 2.2 Bearbeiten

Sei K ein Körper. Eine nicht leere Menge V mit den beiden Operationen + (Vektoraddition) und ${\displaystyle \cdot _{K}}$ (skalare Multiplikation) heißt K-Vektorraum, wenn + die Regeln der Vektoraddition und ${\displaystyle \cdot _{K}}$ die Regeln der skalaren Multiplikation (hier: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ durch K ersetzt), aus Definition 1.2 erfüllen. Die Elemente von ${\displaystyle {\underline {v}}\in V}$ heißen Vektoren.

In den folgenden Abschnitten bezeichne K stets den Körper, den wir für die skalare Multiplikation in den betrachteten Vektorräumen verwenden werden.

Regeln: (aus der Definition 2.2 abgeleitet)

• ${\displaystyle 0{\underline {x}}={\underline {0}}}$ und ${\displaystyle r{\underline {0}}={\underline {0}}}$ , (${\displaystyle {\underline {0}}}$ = Nullvektor von V );
• ${\displaystyle r{\underline {x}}={\underline {0}}\Rightarrow r=0~oder~{\underline {x}}={\underline {0}}}$ ;
• ${\displaystyle (-1){\underline {x}}=-{\underline {x}}}$ (Negative von ${\displaystyle {\underline {x}}}$ ).

Beispiele:

(${\displaystyle i_{1}}$ ) Standardvektorraum über ${\displaystyle K:K^{n};}$

(${\displaystyle i_{2}}$ ) Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems: ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,0);}$

(${\displaystyle i_{3}}$ ) Polynome in X mit Koeffizienten in ${\displaystyle K:K[X]:=\{a_{n}X^{n}+...+a_{1}X+a_{0}X^{0}|n\in \mathbb {N} _{0},a_{i}\in K\};}$

(${\displaystyle i_{4}}$ ) Menge aller K-Matrizen vom Typ ${\displaystyle (m,n):Mat(m,n;K);}$

(${\displaystyle i_{5}}$ ) Menge aller reellen Funktionen bildet den reellen Vektorraum ${\displaystyle Abb(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=\{f|f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}.}$

(${\displaystyle i_{6}}$ ) Menge aller Abbildungen einer Menge M in einen Körper K bildet einen K-Vektorraum ${\displaystyle K^{M}:=Abb(M,K)=\{f|f:M\rightarrow K\}}$ .

Definition 2.3 Bearbeiten

Eine nichtleere Teilmenge ${\displaystyle U\subset V}$ eines Vektorraumes heißt Unter(vektor)raum, falls für alle ${\displaystyle r\in K}$ und ${\displaystyle x,y\in U}$ gilt: ${\displaystyle x+y\in U}$ und ${\displaystyle rx\in U}$ .

Damit ist U eine solche Teilmenge von V , die bzgl. der Operationen in V selbst ein Vektorraum ist. Der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume eines Vektorraumes ist wieder ein Unterraum. Analoges gilt nicht für die Vereinigung von Unterräumen!

Beispiele:

(${\displaystyle i_{7}}$ ) ${\displaystyle \{0\}}$ und ${\displaystyle V}$ sind die sogenannten ’trivialen’ Unterräume in jedem Vektorraum ${\displaystyle V}$ .

(${\displaystyle i_{8}}$ ) Die nicht trivialen Unterräume des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sind Geraden und Ebenen durch den Ursprung 0 .

(${\displaystyle i_{9}}$ ) ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,0)}$ ist Unterraum von ${\displaystyle K^{n}}$ .

(${\displaystyle i_{10}}$ ) ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ist Unterraum von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=Abb(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$ und ebenso von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=Abb(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ .

(${\displaystyle i_{11}}$ ) ${\displaystyle K^{(M)}:=\{f:M\rightarrow K|f(x)\neq 0\,}$ für endlich viele ${\displaystyle \,x\in M\}}$ ist ein Unterraum von ${\displaystyle K^{M}}$ .

Definition 2.4 Bearbeiten

Die lineare Hülle einer Menge ${\displaystyle M}$ von Vektoren aus ${\displaystyle V}$ ist der Durchschnitt aller Unterräume, die ${\displaystyle M}$ enthalten, also insbesondere ein Unterraum:

${\displaystyle Lin(M)=\bigcap _{U\in I}U;I=\{U|M\subset U\subset V;U~Unterraum\}}$ .

${\displaystyle M}$ heißt Erzeugendensystem (ES) von V , wenn ${\displaystyle V=Lin(M)}$ .

${\displaystyle V}$ heißt endlich erzeugt, falls eine endliche Teilmenge Erzeugendensystem ist.

Beispiele:

(${\displaystyle i_{12}}$ ) Die Einheitsvektoren ${\displaystyle e_{1},...,e_{n}}$ erzeugen ${\displaystyle K^{n}}$ .

(${\displaystyle i_{13}}$ ) Die Basislösungen erzeugen ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,0)}$ .

(${\displaystyle i_{14}}$ ) Die Monome ${\displaystyle X^{0},X,X^{2},...,X^{n},...}$ erzeugen ${\displaystyle K[X]}$ .

Satz 2.5 Bearbeiten

Die lineare Hülle ist die Menge aller Linearkombinationen (LK) von Vektoren aus ${\displaystyle M\subset V}$ :

${\displaystyle Lin(M)=\{v\in V|v=\lambda _{1}v_{1}+...+\lambda _{k}v_{k},\lambda _{i}\in K,v_{i}\in M\}}$ .

Regeln: (zur linearen Hülle)

• Konvention: ${\displaystyle Lin(\emptyset )=\{0\}.}$
• ${\displaystyle M\subseteq Lin(M).}$
• ${\displaystyle Lin(Lin(M))=Lin(M),}$ insbesondere ${\displaystyle Lin(U)=U}$ gdw. ${\displaystyle U}$ ist Unterraum.
• ${\displaystyle Lin(M\cup M')=Lin(M)+Lin(M'):=\{u+u'|u\in Lin(M);u'\in Lin(M')\}.}$

Wir wollen minimale Erzeugendensysteme eines Vektorraumes charakterisieren und folgende Fragen beantworten:

Ist ein unverkürzbares ES minimal?

Haben unverkürzbare ES stets die gleiche Anzahl von Elementen?

Wie erkennt man ein minimales ES?

Die Antworten führen uns zum Begriff der Dimension eines Vektorraumes.Endlich viele Vektoren heißen linear abhängig, wenn sich geeignete Vielfache der Vektoren zum Nullvektor aufsummieren lassen. Aus der Verneinung erhalten wir den wichtigen Begriff der linearen Unabhängigkeit.

Definition 2.6 Bearbeiten

Eine Menge von ${\displaystyle k}$ Vektoren ${\displaystyle \{v_{1},...,v_{k}\}\subset V}$ heißt linear unabhängig, wenn aus

${\displaystyle \,\lambda _{1}v_{1}+...+\lambda _{k}v_{k}=0}$ stets ${\displaystyle \,\lambda _{1}=\lambda _{2}=...=\lambda _{k}=0}$

folgt. Andernfalls sind die Vektoren ${\displaystyle \,v_{1},...,v_{k}}$ linear abhängig. Eine unendliche Menge von Vektoren ist linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist.

Definition 2.7 Bearbeiten

Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von ${\displaystyle V}$ heißt Basis. Die Dimension ${\displaystyle dim(V)}$ eines Vektorraumes ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${\displaystyle V}$ .

Diese Definition ist zu rechtfertigen (warum?).

Eigenschaften und Beispiele:

(${\displaystyle i_{15}}$ ) Die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ ist linear unabhängig. (Konvention)

(${\displaystyle i_{16}}$ ) ${\displaystyle \{v\}}$ ist linear unabhängig gdw. ${\displaystyle v\neq 0}$ .

(${\displaystyle i_{17}}$ ) Seien ${\displaystyle v,w\neq 0}$ , dann ist ${\displaystyle \{v,w\}}$ linear abhängig gdw. ${\displaystyle v=\lambda w}$ für ein ${\displaystyle \lambda \in K}$ .

(${\displaystyle i_{18}}$ ) Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig. Jede Obermenge einer linear abhängigen Menge ist linear abhängig.

(${\displaystyle i_{19}}$ ) Die Einheitsvektoren ${\displaystyle e_{1},...,e_{n}}$ bilden eine Basis von ${\displaystyle K^{n}}$ .

(${\displaystyle i_{20}}$ ) ${\displaystyle \{1,X,X^{2},...\}}$ ist eine Basis von ${\displaystyle K[X]}$ , also ist ${\displaystyle K[X]}$ nicht endlich erzeugt.

(${\displaystyle i_{21}}$ ) Die Abbildungen ${\displaystyle \{\varphi _{k}:\mathbb {N} \rightarrow K|\varphi _{k}(i)=\delta _{ik}\}}$ sind linear unabhängig in ${\displaystyle Abb(\mathbb {N} ,K)}$ , aber keine Basis! (warum?)

Notation: Das sogenannte Kronecker-Delta bedeutet ${\displaystyle \delta _{ik}=1}$ , falls ${\displaystyle i=k}$ , und ${\displaystyle \delta _{ik}=0}$ , falls ${\displaystyle i\neq k}$ .

Satz 2.8 Bearbeiten

Sei ${\displaystyle A\in Mat(m,n;K)}$ eine Matrix, dann gilt:

(1) Ist ${\displaystyle A}$ in ZS-Form, dann sind die vom Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren linear unabhängig.

(2) Die Spaltenvektoren von ${\displaystyle A}$ sind linear unabhängig gdw. ${\displaystyle rg(A)=n}$ .

(3) Die Basislösungen des zu ${\displaystyle A}$ gehörigen linearen Gleichungssystems bilden eine Basis von ${\displaystyle {\mathcal {H}}(A,0)}$ .

Der Unterraum von ${\displaystyle K^{n}}$ erzeugt von den Zeilenvektoren einer Matrix ${\displaystyle A}$ bleibt bei Zeilenoperationen unverändert. Folglich findet man mit den Gauß-Algorthimus mit (1) eine Basis für den ’Zeilenraum’. Mit der Aussage (2) ergibt sich ein Rezept zur Auswahl einer linear unabhängigen Teilmenge aus einer vorgegebenen Menge von (Spalten-)Vektoren. Der folgende Satz liefert weitere charakterisierende Eigenschaften für die lineare Unabhängigkeit:

Satz 2.9 Bearbeiten

Folgende Aussagen über ${\displaystyle M\subset V}$ sind äquivalent:

(1) ${\displaystyle M}$ ist linear unabhängig.

(2) Kein Vektor von ${\displaystyle M}$ ist Linearkombination der übrigen Vektoren aus ${\displaystyle M}$ .

(3) Die Darstellung jedes Vektors ${\displaystyle v\in Lin(M)}$ als Linearkombination von ${\displaystyle M}$ ist eindeutig.

Corollar 2.10 Bearbeiten

(1) ${\displaystyle v\notin Lin(M)}$ und ${\displaystyle M}$ linear unabhängig ${\displaystyle \Rightarrow M\cup \{v\}}$ linear unabhängig.

(2) Eine Basis ist ein unverkürzbares ES.

(3) Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Menge.

Die Eindeutigkeit der Dimension und die Gleichwertigkeit von Minimalität und Unverkürzbarkeit eines Erzeugendensystems ergibt sich aus folgendem Satz:

Satz 2.11 Bearbeiten

Je zwei Basen eines endlich erzeugten Vektorraumes haben die gleiche Anzahl von Vektoren.

Wichtig für die Bestimmung von Basen ist folgende Aussage:

Satz 2.12 (Basisergänzungssatz) Bearbeiten

Jede lineare unabhängige Teilmenge von ${\displaystyle V}$ kann mit Vektoren aus einem vorgegebenen ES zu einer Basis ergänzt werden.

Ist das Erzeugendensystem eine Basis, erhalten wir den sogenannten Austauschsatz.

In natürlicher Weise ist das kartesische Produkt zweier Vektorräume wieder ein Vektorraum. Andererseits lässt sich der so gebildete VR als (äußere direkte) Summe zweier Unterräume schreiben. Wir wollen aber darauf verweisen, dass diese Konstruktionen verschieden sind, auch wenn erst bei unendlich vielen Faktoren resp. Summanden nichtisomorphe Vektorräume entstehen.

Lemma 2.13 Bearbeiten

Seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei K-Vektorräume, dann ist das kartesische Produkt ${\displaystyle V\times W}$ wieder ein K-Vektorraum durch komponentenweise Addition und komponentenweise skalare Multiplikation:

${\displaystyle (v,w)+(v_{0},w_{0})=(v+v_{0},w+w_{0})}$ und ${\displaystyle r(v,w)=(rv,rw)}$ .

Wir können ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ als Unterraum von ${\displaystyle V\times W}$ auffassen durch die Identifizierung von ${\displaystyle v}$ mit ${\displaystyle (v,0_{W})}$ bzw. ${\displaystyle w}$ mit ${\displaystyle (0_{V},w)}$ . Der n-dimensionale Standardvektorraum entsteht als n-faches Produkt: ${\displaystyle K^{n}=K\times ...\times K}$ .

Definition 2.14 Bearbeiten

Sind ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset V}$ Unterräume, der Unterraum ${\displaystyle U_{1}+U_{2}:=Lin(U_{1}\cup U_{2})=\{u+u'|u\in U_{1},u'\in U_{2}\}}$ heißt die Summe von ${\displaystyle U_{1}}$ und ${\displaystyle U_{2}}$ in ${\displaystyle V}$ .

Die Summe ${\displaystyle U_{1}+U_{2}}$ heißt direkte Summe, falls für jeden Vektor ${\displaystyle v\in U_{1}+U_{2}}$ die Zerlegung ${\displaystyle v=u+u'}$ eindeutig ist.

Ein Unterraum ${\displaystyle W\subset V}$ heißt komplementär zu einem Unterraum ${\displaystyle U}$ , falls ${\displaystyle V}$ direkte Summe von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$ ist.

Schreibweise für eine direkte Summe: ${\displaystyle U\oplus U'}$ .

Lemma 2.15 Bearbeiten

${\displaystyle U_{1}+U_{2}}$ ist direkt gdw. ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=\{0\}}$ .

Sei ${\displaystyle \{v_{1},...,v_{n}\}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ , dann ist ${\displaystyle V}$ die direkte Summe der Unterräume ${\displaystyle Kv_{i}:V=Kv_{1}\oplus ...\oplus Kv_{n}}$ .Mit dem Basisergänzungssatz ergibt sich daraus die Existenz (und aus seinem konstruktiven Beweis ein Verfahren zur Bestimmung) von komplementären Unterräumen.

Corollar 2.16 (zu Satz 2.12) Bearbeiten

In einem endlich erzeugten Vektorraum gibt es zu jedem Unterraum stets komplementäre Unterräume.

Satz 2.17 (1. Dimensionsformel) Bearbeiten

${\displaystyle dim(U_{1}+U_{2})=dim(U_{1})+dim(U_{2})-dim(U_{1}\cap U_{2})}$ .

Mit der nach Lemma 2.13 angegebenen Identifizierung folgt ${\displaystyle V\times W=V\oplus W}$ . Dies gilt per vollständiger Induktion auch für das Produkt von endlich vielen Vektorräumen.

Achtung:

(zur Information) Die analoge Aussage gilt nicht für das Produkt von unendlich vielen Vektorräumen ${\displaystyle V:=\times _{i\in I}V_{i}}$ , ${\displaystyle I}$ eine unendliche Indexmenge. In ${\displaystyle V}$ ist die Summe der Unterräume ${\displaystyle V_{i}}$ , definiert als lineare Hülle der Vereinigung der ${\displaystyle V_{i}}$ , immer noch direkt, aber ein echter Unterraum ${\displaystyle \oplus _{i\in I}V_{i}\subset V}$ . Beispielsweise gilt im Vektorraum aller Folgen ${\displaystyle Abb(\mathbb {N} ,K)=\times _{i\in \mathbb {N} }(K\varphi _{i})=:K^{\mathbb {N} }}$ . Dagegen entspricht ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }(K\varphi _{i})=:K^{(\mathbb {N} )}}$ genau dem Unterraum aller endlichen Folgen.