Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 6

Ringhomomorphismen

Wir besprechen nun die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Ringen(und Körpern).

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring${\displaystyle {}S\subseteq R}$ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung${\displaystyle {}R\rightarrow 0}$in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also ${\displaystyle {}0\rightarrow R}$,nur bei${\displaystyle {}R=0}$ein Ringhomomorphismus.

Die Charakteristik eines Ringes

Satz  

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einRing.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmtenRinghomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow R.}$

Beweis  

Ein Ringhomomorphismus muss die ${\displaystyle {}1}$ auf die ${\displaystyle {}1_{R}}$ abbilden. Deshalb gibt es nachLemma 4.4genau einenGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.}$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass${\displaystyle {}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})}$.ist, wobei ${\displaystyle {}*}$ hier die Multiplikation in ${\displaystyle {}R}$ bezeichnet. Dies folgt aber ausdem allgemeinen Distributivgesetz.

${\displaystyle \Box }$

Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus(oder den charakteristischen Ringhomomorphismus)von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ nach ${\displaystyle {}R}$.

Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen(charakteristischen)Ringhomomorphismus.

Der Einsetzungshomomorphismus

Satz  

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund sei ${\displaystyle {}R[X]}$ derPolynomringüber ${\displaystyle {}R}$. Es sei ${\displaystyle {}A}$ ein weitererkommutativer Ringund es sei${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow A}$einRinghomomorphismus und${\displaystyle {}a\in A}$ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon R[X]\longrightarrow A}$

mit${\displaystyle {}\psi (X)=a}$und mit${\displaystyle {}\psi \circ i=\varphi }$,wobei${\displaystyle {}i\colon R\rightarrow R[X]}$die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom${\displaystyle {}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}}$auf ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}}$.

Beweis  

Bei einem Ringhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon R[X]\longrightarrow A}$

mit${\displaystyle {}\psi \circ i=\varphi }$.müssen die Konstanten${\displaystyle {}c\in R}$ auf ${\displaystyle {}\varphi (c)}$ und ${\displaystyle {}X}$ auf ${\displaystyle {}a}$ gehen. Daher muss ${\displaystyle {}X^{j}}$ auf ${\displaystyle {}a^{j}}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.

${\displaystyle \Box }$

Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Es wird ja für die Variable ${\displaystyle {}X}$ das Element ${\displaystyle {}a}$ eingesetzt.

Algebren

Ein wichtiges Konzept für das Studium von Körpern und Ringen ist, diese als eine Erweiterung von einfacheren Ringen aufzufassen(Grundring, Grundkörper)und dann mit Hilfe des schon verstandenen einfacheren Objektes das erweiterte Objekt zu untersuchen. Man spricht vom relativen Standpunkt. Diese Idee wird durch den Begriff Algebra präzisiert.

Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra, indem man die Elemente aus ${\displaystyle {}R}$ als konstante Polynome auffasst. Jeder Ring ${\displaystyle {}A}$ ist auf eine eindeutige Weise eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus${\displaystyle {}\mathbb {Z} \longrightarrow A}$, ${\displaystyle {}n\longmapsto n_{A}}$.Bei einer Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$ist ${\displaystyle {}L}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Algebra. Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe ${\displaystyle {}A}$(bei kommutativem Grundring ${\displaystyle {}R}$)sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus ${\displaystyle {}R}$ mit allen Elementen aus ${\displaystyle {}A}$ vertauschen.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ${\displaystyle {}K}$ ist. Eine ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle {}K}$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring${\displaystyle {}L}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }}$,gegeben ist. Dann ist ${\displaystyle {}L}$ über die Inklusion direkt eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Algebrahomomorphismus, da es zu jedem Ring ${\displaystyle {}A}$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus${\displaystyle {}\mathbb {Z} \rightarrow A}$gibt.

Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus jetzt so verstehen, dass der Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$ mit einem fixierten Element ${\displaystyle {}a\in A}$ vorliegt und dass dann durch ${\displaystyle {}X\mapsto a}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Algebrahomomorphismus${\displaystyle {}R[X]\rightarrow A}$definiert wird.

Ideale unter einem Ringhomomorphismus

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismenund Idealenwird durch folgenden Satz hergestellt.

Satz  

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$kommutative Ringeund sei

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

einRinghomomorphismus.Dann ist der Kern

${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,}$

ein Idealin ${\displaystyle {}R}$.

Beweis  

Sei

${\displaystyle {}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.}$

Wegen${\displaystyle {}\varphi (0)=0}$.ist ${\displaystyle {}0\in I}$. Es seien ${\displaystyle {}a,b\in I}$. Das bedeutet${\displaystyle {}\varphi (a)=0}$ und ${\displaystyle {}\varphi (b)=0}$.Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,}$

und daher ${\displaystyle {}a+b\in I}$.

Es sei nun${\displaystyle {}a\in I}$ und ${\displaystyle {}r\in R}$ beliebig. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,}$

also ist ${\displaystyle {}ra\in I}$.

${\displaystyle \Box }$

Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriteriumfür die Injektivität.Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.

Korollar  

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und ${\displaystyle {}S}$ ein vom NullringverschiedenerRing.Es sei

${\displaystyle \varphi \colon K\longrightarrow S}$

einRinghomomorphismus.

Dann ist ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv.

Beweis  

Es genügt nachLemma 4.9zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. NachSatz 6.7ist der Kern ein Ideal. Da die ${\displaystyle {}1}$ auf${\displaystyle {}1\neq 0}$geht, ist der Kern nicht ganz ${\displaystyle {}K}$. Da es nachLemma 20.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

${\displaystyle \Box }$

Algebraische Elemente und Minimalpolynom

Wenn ein Polynom ${\displaystyle {}P\neq 0}$das algebraische Element ${\displaystyle {}f\in A}$ annulliert(also ${\displaystyle P(f)=0}$ ist),so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Wenn ${\displaystyle {}f}$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Lemma  

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}K}$-Algebraund${\displaystyle {}f\in A}$ein Element. Es sei ${\displaystyle {}P}$ dasMinimalpolynomvon ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}K}$.

Dann ist der Kerndes kanonischen${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,}$

das von ${\displaystyle {}P}$ erzeugte Hauptideal.

Beweis  

Wir betrachtenden kanonischen Einsetzungshomorphismus

${\displaystyle K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.}$

Dessen Kern ist nachSatz 6.7und nachSatz 3.15ein Hauptideal, sagen wir${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(F)}$,wobei wir ${\displaystyle {}F}$ als normiert annehmen dürfen(im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig).Das Minimalpolynom ${\displaystyle {}P}$ gehört zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$. Andererseits ist der Grad von ${\displaystyle {}F}$ größer oder gleich dem Grad von ${\displaystyle {}P}$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist${\displaystyle {}P=F}$,da beide normiert sind.

${\displaystyle \Box }$

Erzeugendensysteme

Man kann diese ${\displaystyle {}R}$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von ${\displaystyle {}A}$ charakterisieren, der sowohl ${\displaystyle {}R}$ als auch die ${\displaystyle {}f_{i}}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten ${\displaystyle {}K}$-Algebren in einer Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach ${\displaystyle {}K[f]}$, und diese ${\displaystyle {}K}$-Algebra besteht aus allen ${\displaystyle {}K}$-Linearkombinationen von Potenzen von ${\displaystyle {}f}$. Dies ist das Bild unter dem durch ${\displaystyle {}X\mapsto f}$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von ${\displaystyle {}L}$ betrachten, der sowohl ${\displaystyle {}K}$ als auch eine Elementfamilie${\displaystyle {}f_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,enthält. Dieser wird mit ${\displaystyle {}K(f_{i},i\in I)}$ bezeichnet, und man sagt, dass die ${\displaystyle {}f_{i}}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist${\displaystyle {}K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)}$und insbesondere${\displaystyle {}K[f]\subseteq K(f)}$.