Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 22

Es sei${\displaystyle {}L=K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$und seien ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ die zugehörigen Minimalpolynome.Wir setzen${\displaystyle {}P=P_{1}\cdots P_{n}}$,und es sei ${\displaystyle {}N}$ derZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}P}$ über ${\displaystyle {}L}$. NachSatz 15.7ist die Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq N}$ normal.

Es sei eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen gegeben, also

${\displaystyle {}K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n}=L\,}$

mit${\displaystyle {}L_{i+1}=L_{i}(x_{i})}$ und ${\displaystyle {}x_{i}^{m}\in L_{i}}$. Wir zeigen durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$, dass die normale Hüllevon ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ ebenfalls eine ${\displaystyle {}m}$-Radikalerweiterung ist. Bei${\displaystyle {}n=0}$ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage schon für kleinere Zahlen${\displaystyle {}n'<n}$bewiesen sei. Es sei${\displaystyle {}L\subseteq N}$die normale Hülle, die die normale Hülle ${\displaystyle {}N_{n-1}}$ von ${\displaystyle {}L_{n-1}}$ enthält. Nach Induktionsvoraussetzung ist${\displaystyle {}K\subseteq N_{n-1}}$eine ${\displaystyle {}m}$-Radikalerweiterung. In ${\displaystyle {}N_{n-1}}$ zerfallen die Minimalpolynome der${\displaystyle {}x_{i}}$, ${\displaystyle {}i\leq n-2}$,und in ${\displaystyle {}N}$ zerfallen die Minimalpolynome der${\displaystyle {}x_{i}}$, ${\displaystyle {}i\leq n-1}$. Daher ist${\displaystyle {}N=N_{n-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})}$,wobei die ${\displaystyle {}\alpha _{j}}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von ${\displaystyle {}x_{n-1}}$ sind. Wegen${\displaystyle {}x_{n-1}^{m}=a_{n-1}\in L_{n-1}}$sind diese ${\displaystyle {}\alpha _{j}}$ auch Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle {}X^{m}-a_{n-1}}$.

Es sei zuerst die Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$auflösbar, und zwar sei${\displaystyle {}L\subseteq M}$eine Körpererweiterung derart, dass${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine Radikalerweiterung ist. Es sei ${\displaystyle {}m}$ dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ sind, können wir zu ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}m}$-teprimitive Einheitswurzel${\displaystyle {}\zeta }$ adjungierenund erhalten eine ${\displaystyle {}m}$-Radikalerweiterung${\displaystyle {}K\subseteq M'=M(\zeta )}$.Wir ersetzen ${\displaystyle {}M'}$ durch seinenormale Hülle${\displaystyle {}M^{\prime \prime }}$, die nachLemma 22.5ebenfalls eine ${\displaystyle {}m}$-Radikalerweiterung von ${\displaystyle {}K}$ ist. Da wir in Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ sind, ist${\displaystyle {}K\subseteq M^{\prime \prime }}$eineGaloiserweiterung.Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette

${\displaystyle {}K=L_{0}\subseteq K(\zeta )=L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=M\,}$

vorliegt, wobei${\displaystyle {}K\subseteq M}$galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen${\displaystyle {}L_{i}\subseteq L_{i+1}}$einfache Radikalerweiterungensind. Es sei${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)}$und wir setzen

${\displaystyle {}G_{i}=\operatorname {Gal} \,(M{|}L_{i})\,.}$

Dabei gelten nachLemma 16.3  (2)die natürlichen Inklusionen

${\displaystyle {}G_{k}=\{\operatorname {Id} \}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,.}$

Da die Zwischenerweiterungen${\displaystyle {}L_{i}\subseteq L_{i+1}}$für${\displaystyle {}i\geq 1}$einfache Radikalerweiterungen und in ${\displaystyle {}L_{1}}$ die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt ausSatz 18.5,dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund vonSatz 17.5  (2)sind daher die ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ Normalteiler in ${\displaystyle {}G_{i}}$ und die Restklassengruppen ${\displaystyle {}G_{i}/G_{i+1}}$ sind kommutativ. Die Erweiterung${\displaystyle {}K\subseteq K(\zeta )=L_{1}}$besitzt nachAufgabe 20.21ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die ${\displaystyle {}G}$ alsauflösbarerweist. Da${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nachSatz 17.5die Beziehung

${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=G/\operatorname {Gal} \,(M{|}L)\,,}$

so dass auch ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ wegenLemma 21.3eine auflösbare Gruppe ist.

Es sei nun vorausgesetzt, dass dieGaloisgruppe${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$auflösbarist, und sei

${\displaystyle {}\{\operatorname {Id} \}=G_{k}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,}$

eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils${\displaystyle {}G_{i+1}\subseteq G_{i}}$einNormalteilerist mitabelscherRestklassengruppe${\displaystyle {}G_{i}/G_{i+1}}$. Wir setzen${\displaystyle {}L_{i}=\operatorname {Fix} \,(G_{i})}$,so dass nachLemma 16.3  (1)undSatz 16.6die Körperkette

${\displaystyle {}K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=L\,}$

vorliegt. Dabei sind nachKorollar 16.7die Körpererweiterungen${\displaystyle {}L_{i}\subseteq L}$galoissch,und ihre Galoisgruppensind ${\displaystyle {}G_{i}}$ gemäßSatz 17.1.Da die ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ Normalteiler in ${\displaystyle {}G_{i}}$ sind, sind aufgrund vonSatz 17.5die Körpererweiterungen${\displaystyle {}L_{i}\subseteq L_{i+1}}$galoissch mit Galoisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})=G_{i}/G_{i+1}}$.Diese sukzessiven Erweiterungen sind alsoGaloiserweiterungenmitabelscherGaloisgruppe. Es sei ${\displaystyle {}m}$ der Exponentvon ${\displaystyle {}G}$. Es sei${\displaystyle {}L\subseteq M}$ein ${\displaystyle {}m}$-terKreisteilungskörper,also einZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}X^{m}-1}$ über ${\displaystyle {}L}$, und sei ${\displaystyle {}\zeta \in M}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel.Es ist somit${\displaystyle {}M=L(\zeta )}$.Wir setzen${\displaystyle {}M_{i}=L_{i}(\zeta )}$(innerhalb von ${\displaystyle {}M}$) und haben dann die Körperkette

${\displaystyle {}K\subseteq M_{0}=K(\zeta )\subseteq M_{1}\subseteq \ldots \subseteq M_{k}=M\,.}$

Hierbei gilt${\displaystyle {}M_{i+1}=M_{i}L_{i+1}}$.NachSatz 20.7ist${\displaystyle {}M_{i}\subseteq M_{i+1}}$ ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung

${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(M_{i+1}{|}M_{i})=\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i+1}\cap M_{i})\subseteq \operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})\,,}$

so dass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ zu ${\displaystyle {}M_{0}}$ gehört, sind die Erweiterungen${\displaystyle {}M_{i}\subseteq M_{i+1}}$allesamtKummererweiterungenund damit nachKorollar 18.4auchRadikalerweiterungen.Da auch${\displaystyle {}K\subseteq M_{0}=K(\zeta )}$eine (einfache)Radikalerweiterung ist, ist insgesamt${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine Radikalerweiterung, die ${\displaystyle {}L}$ umfasst. Somit ist${\displaystyle {}K\subseteq L}$auflösbar.

WegenSatz 16.6ist${\displaystyle {}K\subseteq Z(F)}$eineGaloiserweiterung,so dass die Aussage direkt ausSatz 22.6folgt.

Es sei ${\displaystyle {}L}$ der Zerfällungskörper von ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}K}$, der aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik nachSatz 16.6eineGaloiserweiterungist. Sei${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$.Über ${\displaystyle {}L}$ besitzt ${\displaystyle {}F}$ maximal${\displaystyle {}d=\operatorname {grad} \,(F)}$Nullstellen. NachLemma 14.2ist ${\displaystyle {}G}$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen, also ist jedenfalls${\displaystyle {}G\subseteq S_{4}}$.WegenLemma 21.8undLemma 21.2ist somit ${\displaystyle {}G}$ eineauflösbare Gruppe.AusSatz 22.6folgt daher dieAuflösbarkeitdes Zerfällungskörpers über ${\displaystyle {}K}$.