Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 21

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung

${\displaystyle {}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,}$

aus, d.h., dass die ${\displaystyle {}G_{i}}$ Normalteilerin ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ und die Restklassengruppen ${\displaystyle {}G_{i+1}/G_{i}}$ kommutativ sind. Die Untergruppe${\displaystyle {}H\subseteq G}$besitzt durch${\displaystyle {}H_{i}=H\cap G_{i}}$eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}H\cap G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H\cap G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

vor. Wir betrachten den Homomorphismus

${\displaystyle f\colon H\cap G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}.}$

DerKernvon ${\displaystyle {}f}$ ist offenbar ${\displaystyle {}H\cap G_{i}}$. Daher ist ${\displaystyle {}H_{i}}$ nachLemma 5.6ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H_{i+1}}$, und der Quotient ${\displaystyle {}H_{i+1}/H_{i}}$ ist nachSatz 5.12eine Untergruppe von ${\displaystyle {}G_{i+1}/G_{i}}$ und damit kommutativ. Also bilden die ${\displaystyle {}H_{i}}$ eine auflösende Filtrierung von ${\displaystyle {}H}$.

Es sei zunächst ${\displaystyle {}G}$ auflösbar.NachLemma 21.2ist${\displaystyle {}N\subseteq G}$auflösbar.
Betrachten wir also die Restklassengruppe${\displaystyle {}H=G/N}$und fixieren wir eineauflösende Filtrierung

${\displaystyle {}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,.}$

Es sei

${\displaystyle q\colon G\longrightarrow H}$

der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen${\displaystyle {}H_{i}=q(G_{i})}$,dies ist eine Filtrierung von ${\displaystyle {}H}$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}}$

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}H_{i}}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H_{i+1}}$ ist, und ziehen dazuLemma 5.4heran. Es sei also ${\displaystyle {}h\in H_{i}}$ und ${\displaystyle {}x\in H_{i+1}}$, die wir durch ${\displaystyle {}{\tilde {h}}\in G_{i}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\tilde {x}}\in G_{i+1}}$ repräsentieren. Dann ist${\displaystyle {}xhx^{-1}=q{\left({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\right)}}$und wegen der Normalität von ${\displaystyle {}G_{i}}$ in ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ ist ${\displaystyle {}{\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}}$ und somit ${\displaystyle {}xhx^{-1}\in H_{i}}$. Wir betrachten die zusammengesetztesurjektive Abbildung

${\displaystyle G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.}$

Da ${\displaystyle {}G_{i}}$ zumKerndieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund vonSatz 5.10eine surjektive Abbildung

${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},}$

weshalb ${\displaystyle {}H_{i+1}/H_{i}}$ ebenfalls kommutativ ist.

Es seien nun${\displaystyle {}N}$ und ${\displaystyle {}H=G/N}$auflösbar, sei${\displaystyle {}q\colon G\rightarrow G/N}$der Restklassenhomomorphismus und seien

${\displaystyle {}\{e\}=N_{0}\subseteq N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \ldots \subseteq N_{k-1}\subseteq N_{k}=N\,}$

und

${\displaystyle {}\{e\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \ldots \subseteq H_{\ell -1}\subseteq H_{\ell }=H\,}$

auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von ${\displaystyle {}N}$ durch die Urbilder${\displaystyle {}G_{j}=q^{-1}(H_{j})}$zu einer Filtrierung von ${\displaystyle {}G}$. Die surjektive Abbildung

${\displaystyle G_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}/H_{j}}$

besitzt den Kern ${\displaystyle {}G_{j}}$ und zeigt, dass ${\displaystyle {}G_{j}}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}G_{j+1}}$ mit kommutativer Restklassengruppe ist.

(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes${\displaystyle {}x\in G}$ der Automorphismus

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,g\longmapsto xgx^{-1},}$

die Untergruppe ${\displaystyle {}K(G)}$ in sich selbst überführt. Für einen Kommutator ${\displaystyle {}aba^{-1}b^{-1}}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}xaba^{-1}b^{-1}x^{-1}&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xa^{-1}x^{-1}\right)}{\left(xb^{-1}x^{-1}\right)}\\&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xax^{-1}\right)}^{-1}{\left(xbx^{-1}\right)}^{-1}\end{aligned}}}$

wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist${\displaystyle {}xK(G)x^{-1}\subseteq K(G)}$.
(2). In der Restklassengruppe ${\displaystyle {}G/K(G)}$ ist

${\displaystyle {}[a][b]=[a][b][b^{-1}a^{-1}ba]=[a][b][b^{-1}][a^{-1}][b][a]=[b][a]\,.}$

(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.

Wenn die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppentrivial wird, sagen wir

${\displaystyle {}G\supseteq K(G)\supseteq K^{2}(G)\supseteq \ldots \supseteq K^{i-1}(G)\supseteq K^{i}(G)=\{e\}\,,}$

so liegt unmittelbar eine auflösende Filtrierungvor, da ja

${\displaystyle {}K^{j+1}(G)=K(K^{j}(G))\subseteq K^{j}(G)\,}$

nachLemma 21.5einNormalteilerist mit einerabelschenRestklassengruppe.
Es sei nun ${\displaystyle {}G}$ auflösbar.Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl ${\displaystyle {}k}$ der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von ${\displaystyle {}G}$, dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle${\displaystyle {}k=0,1}$klar. Wir betrachten die Untergruppe${\displaystyle {}G_{k-1}\subset G_{k}=G}$in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe ${\displaystyle {}G/G_{k-1}}$ kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe ${\displaystyle {}K(G)}$ unter der Restklassenabbildung auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet und daher ist${\displaystyle {}K(G)\subseteq G_{k-1}}$.Dabei besitzt natürlich ${\displaystyle {}G_{k-1}}$ eine auflösende Filtrierung mit ${\displaystyle {}k-1}$ Untergruppen, und der Beweis zuLemma 21.2zeigt, dass dies auch für die Untergruppe ${\displaystyle {}K(G)}$ gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von ${\displaystyle {}K(G)}$ durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.

Wir betrachten eine Filtrierung

${\displaystyle {}G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=S_{n}\,}$

derart, dass die${\displaystyle {}G_{i}\subseteq G_{i+1}}$Normalteilersind mit kommutativenRestklassengruppen.Wir werden zeigen, dass jedes ${\displaystyle {}G_{i}}$ sämtliche Dreierzykel(also Permutationen, bei denen drei Elemente zyklisch vertauscht werden, und alle übrigen festgelassen werden),enthält. Daher kann diese Filtrierung nicht bei der trivialen Gruppe enden, also ist${\displaystyle {}G_{0}\neq \{e\}}$.Die Aussage über die Dreierzykel beweisen wir durchabsteigende Induktion, wobei der Fall${\displaystyle {}G_{k}=S_{n}}$klar ist. Es sei also vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ alle Dreierzykel enthält. Es sei ${\displaystyle {}\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }$ ein Dreierzyklus(mit verschiedenen Elementen ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in {\{1,\ldots ,n\}}}$.)Wegen${\displaystyle {}n\geq 5}$gibt es noch zwei weitere Elemente ${\displaystyle {}x,y\in {\{1,\ldots ,n\}}}$, die von ${\displaystyle {}z_{1},z_{2},z_{3}}$ und untereinander verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gehören die Dreierzykel

${\displaystyle \sigma =\langle z_{1},z_{2},x\rangle \,\,{\text{ und }}\,\,\tau =\langle z_{1},z_{3},y\rangle }$

zu ${\displaystyle {}G_{i+1}}$. Eine elementare Überlegung zeigt

${\displaystyle {}\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle =\langle z_{3},y,z_{2}\rangle \circ \langle z_{1},y,z_{3}\rangle =(\sigma \tau \sigma ^{-1})\circ \tau ^{-1}=\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}\,.}$

Dieses Element wird unter der Restklassenabbildung

${\displaystyle G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}}$

auf das neutrale Element abgebildet, da ja die Restklassengruppe kommutativ ist. Also ist ${\displaystyle {}\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle \in G_{i}}$.