Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 16

Es sei ${\displaystyle {}x\in L}$fixiert. Wir betrachten die endliche Menge

${\displaystyle {}M={\left\{\varphi (x)\mid \varphi \in H\right\}}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\,,}$

wobei${\displaystyle {}x_{1}=x}$sei. Wir setzen

${\displaystyle {}F:=(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,}$

(${\displaystyle \in L[X]}$).Es ist${\displaystyle {}F(x)=0}$.Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{i}}$ dieses Polynoms zu ${\displaystyle {}K}$ gehören. Es sei dazu ${\displaystyle {}\varphi \in H}$.Dann ist

${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i}=\prod _{i=1}^{n}(X-\varphi (x_{i}))=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,.}$

Daher ist${\displaystyle {}\varphi (a_{i})=a_{i}}$.Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper${\displaystyle {}K=\operatorname {Fix} \,(H)}$und daher ist${\displaystyle {}F\in K[X]}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}x}$ algebraischüber ${\displaystyle {}K}$ ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad

${\displaystyle {}\leq \operatorname {Grad} _{}^{}{\left(F\right)}=n={\#\left(M\right)}\leq {\#\left(H\right)}\,}$

besitzt. Da ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}L}$ in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.

 Nehmen wir an, dass${\displaystyle {}{\#\left(H\right)}<\operatorname {grad} _{K}L}$ ist. Wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}L}$ endlichüber ${\displaystyle {}K}$ ist, da wir ${\displaystyle {}L}$ durch einen(über ${\displaystyle {}K}$ endlichen)Zwischenkörper der Form ${\displaystyle {}K[\varphi (x_{i}),\varphi \in H,\,i=1,\ldots ,n]}$ mit beliebig hohem Grad ersetzen können. NachLemma 16.4ist die Körpererweiterungseparabelund nachdem Satz vom primitiven Elementkann man${\displaystyle {}L=K[x]}$schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von ${\displaystyle {}x}$ gleich dem Grad der Körpererweiterung, so dass sich ein Widerspruch zuLemma 16.4ergibt. Also ist${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine endliche Körpererweiterung mit${\displaystyle {}{\#\left(H\right)}\geq \operatorname {grad} _{K}L}$.Nach Satz 14.7muss hierbei Gleichheit gelten.Die Inklusion${\displaystyle {}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ist trivial. Da ${\displaystyle {}H}$ nachSatz 14.7schon die maximal mögliche Anzahl von ${\displaystyle {}K}$-Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette${\displaystyle {}K\subseteq \operatorname {Fix} \,(G)\subseteq L}$.Nach derGradformelund da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)\cdot \operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}\,.}$

Nach demSatz von Artinist${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L={\#\left(G\right)}}$,also ist${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)=1}$.
Die Implikation von (2) nach (3) folgt ausLemma 16.4.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort ausSatz 15.7.
Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben${\displaystyle {}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]}$.Die Minimalpolynome${\displaystyle {}F_{i}\in K[X]}$ der ${\displaystyle {}x_{i}}$ zerfallen wegen der Normalität in ${\displaystyle {}L[X]}$ in Linearfaktoren. Daher können wirLemma 13.7mit${\displaystyle {}M=L}$anwenden und erhalten${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L}$Einbettungen von ${\displaystyle {}L}$ nach ${\displaystyle {}L}$ (über ${\displaystyle {}K}$),und somit besitzt die Galoisgruppe ${\displaystyle {}n}$ Elemente.

NachLemma 15.2  (3)ist${\displaystyle {}M\subseteq L}$einenormale Körpererweiterung.NachLemma 13.5ist sie auchseparabel.Somit handelt es sich aufgrund vonSatz 16.6um eineGaloiserweiterung.

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus.Die Injektivitätergibt sich ausKorollar 6.8,und daraus ergibt sich die Surjektivitätwegen der Endlichkeit ausLemma 10.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).Wegen${\displaystyle {}\Phi (1)=1}$werden die Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es ${\displaystyle {}p}$ Elemente in ${\displaystyle {}K}$ mit${\displaystyle {}x^{p}=x}$.Mehr kann es wegenKorollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))nicht geben.

Es sei

${\displaystyle \Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}}$

derFrobeniushomomorphismus,der nachLemma 16.8ein ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen${\displaystyle {}\Phi ^{k}}$ Automorphismen, und zwar gilt

${\displaystyle {}\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.}$

Bei${\displaystyle {}k=m}$istnach Korollar 4.17${\displaystyle {}x^{p^{m}}=x}$für alle ${\displaystyle {}x\in {\mathbb {F} }_{q}}$, also ist${\displaystyle {}\Phi ^{m}=\operatorname {Id} }$.Für${\displaystyle {}k<m}$kann ${\displaystyle {}\Phi ^{k}}$ nicht die Identität sein, da dies sofortKorollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))widersprechen würde. Also gibt es ${\displaystyle {}m}$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. NachSatz 14.7kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

Sei${\displaystyle {}q=p^{m}}$.Wenn ${\displaystyle {}K}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}L}$ ist, so ist ${\displaystyle {}L}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von ${\displaystyle {}L}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}q}$ sein. Aus

${\displaystyle {}p^{n}=q^{k}=(p^{m})^{k}=p^{mk}\,}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}m}$

Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}m}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}n}$. Die Frobeniusiteration ${\displaystyle {}\Phi ^{m}}$ auf ${\displaystyle {}L}$ erzeugt eine Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ der nachSatz 16.9zyklischen Galoisgruppe von${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq L}$.Die Ordnung von ${\displaystyle {}H}$ ist ${\displaystyle {}n/m}$. Es sei${\displaystyle {}M=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq L}$der zugehörige Fixkörper.Dann besitzt die Körpererweiterung${\displaystyle {}M\subseteq L}$nachKorollar 16.7denGrad${\displaystyle {}n/m}$ und somit besitzt${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq M}$den Grad ${\displaystyle {}m}$. Daher besitzt ${\displaystyle {}M}$ gerade ${\displaystyle {}p^{m}}$ Elemente und ist daher wegenSatz 11.11isomorph zu ${\displaystyle {}K}$.