Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 11

Sei${\displaystyle {}F=P_{1}\cdots P_{r}}$die Zerlegung in Primpolynome in ${\displaystyle {}K[X]}$, und sei ${\displaystyle {}P_{1}}$ nicht linear. Dann ist

${\displaystyle K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'}$

eineKörpererweiterungvon ${\displaystyle {}K}$ nachSatz 7.6.Wegen${\displaystyle {}P_{1}(Y)=0}$in ${\displaystyle {}K'}$ ist die Restklasse ${\displaystyle {}y}$ von ${\displaystyle {}Y}$ in ${\displaystyle {}K'}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P_{1}}$. Daher giltin ${\displaystyle {}K'[X]}$ die Faktorisierung${\displaystyle {}P_{1}=(X-y){\tilde {P}}}$,wobei ${\displaystyle {}{\tilde {P}}}$ einen kleineren Grad als ${\displaystyle {}P_{1}}$ hat. Das Polynom ${\displaystyle {}F}$ hat also über ${\displaystyle {}K'}$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über ${\displaystyle {}K}$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen ${\displaystyle {}K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots }$,die stationär wird, sobald ${\displaystyle {}F}$ in Linearfaktoren zerfällt.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine Körpererweiterung, über der ${\displaystyle {}F}$ in Linearformen zerfällt und${\displaystyle {}L=K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq M}$,wobei ${\displaystyle {}a_{i}\in M}$ die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ seien. Es liegt eine Kette von${\displaystyle {}K}$-Algebren

${\displaystyle {}K\subseteq K[a_{1}]\subseteq K[a_{1},a_{2}]\subseteq \cdots \subseteq K[a_{1},\ldots ,a_{n}]=L\subseteq M\,}$

vor. Dabei ist sukzessive ${\displaystyle {}a_{i}}$algebraischüber ${\displaystyle {}K[a_{1},\ldots ,a_{i-1}]}$, da ja ${\displaystyle {}a_{i}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ist. Daher sind die Inklusionen nachSatz 10.1endliche Körpererweiterungenund nachSatz 2.8ist dann die Gesamtkörpererweiterung ebenfalls endlich.

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über denGrad${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}L_{1}}$. Wenn der Grad eins ist, so ist${\displaystyle {}K=L_{1}}$und das Polynom ${\displaystyle {}F}$ zerfällt bereits über ${\displaystyle {}K}$ in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ in einem beliebigen Erweiterungskörper${\displaystyle {}K\subseteq M}$zu ${\displaystyle {}K}$ selbst. Also ist auch${\displaystyle {}L_{2}=K}$. Es sei nun${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}L_{1}\geq 2}$und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}K}$ nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor ${\displaystyle {}P}$ von ${\displaystyle {}F}$ mit${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P)\geq 2}$und${\displaystyle {}K'=K[X]/(P)}$ ist nachSatz 7.6und nachProposition 7.9eine Körpererweiterung von ${\displaystyle {}K}$ vom Grad ${\displaystyle {}\geq 2}$. Da ${\displaystyle {}P}$ als Faktor von ${\displaystyle {}F}$ ebenfalls über${\displaystyle {}L_{1}}$ und über ${\displaystyle {}L_{2}}$in Linearfaktoren zerfällt, gibt es ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen${\displaystyle {}K'\rightarrow L_{1}}$ und ${\displaystyle {}K'\rightarrow L_{2}}$.Diese sind injektiv, so dass ${\displaystyle {}K'}$ sowohl von${\displaystyle {}L_{1}}$ als auch von ${\displaystyle {}L_{2}}$ein Unterkörper ist. NachLemma 11.3sind dann${\displaystyle {}L_{1}}$ und ${\displaystyle {}L_{2}}$Zerfällungskörper von${\displaystyle {}F\in K'[X]}$.NachSatz 2.8ist

${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K'}L_{1}<\operatorname {grad} _{K}L_{1}\,,}$

so dass wir auf ${\displaystyle {}K',L_{1},L_{2}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen ${\displaystyle {}K'}$-Algebraisomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.}$

Dieser ist erst recht ein ${\displaystyle {}K}$-Algebraisomorphismus.

Zunächst gilt für jedes Element${\displaystyle {}x\in \mathbb {Z} /(p)\subseteq K}$,dass

${\displaystyle {}x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,}$

ist, wobei wir wiederholtden kleinen Fermatbenutzt haben. Insbesondere ist also${\displaystyle {}0,1,-1\in M}$. Es ist${\displaystyle {}z^{q}=F^{e}(z)}$und der Frobeniushomomorphismus

${\displaystyle F\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p},}$

ist ein RinghomomorphismusnachAufgabe 11.10.Daher ist für${\displaystyle {}x,y\in M}$ einerseits

${\displaystyle {}(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.}$

Ferner gilt für${\displaystyle {}x\in M}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$,die Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,}$

so dass auch das Inverse zu ${\displaystyle {}M}$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.

Nach Lemma 11.8ist ${\displaystyle {}M}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}K}$, und nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))besitzt er höchstens ${\displaystyle {}q}$ Elemente. Es ist also zu zeigen, dass${\displaystyle {}F=X^{q}-X}$keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung${\displaystyle {}F'=-1}$undAufgabe 11.29.

Zur Existenz. Wir wendenLemma 11.1auf den Grundkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ und das Polynom ${\displaystyle {}X^{q}-X}$ an und erhalten einen Körper ${\displaystyle {}L}$ derCharakteristik${\displaystyle {}p}$, über dem ${\displaystyle {}X^{q}-X}$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Lemma 11.10gibt es dann einen Unterkörper ${\displaystyle {}M}$ von ${\displaystyle {}L}$, der aus genau ${\displaystyle {}q}$ Elementen besteht.

Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit ${\displaystyle {}q}$ Elementen derZerfällungskörperdes Polynoms ${\displaystyle {}X^{q}-X}$ sein muss, so dass er aufgrund dieser Eigenschaft nachSatz 11.6eindeutig bestimmt ist. Sei also ${\displaystyle {}L}$ ein Körper mit ${\displaystyle {}q}$ Elementen, der dann ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ alsPrimkörperenthält. Da ${\displaystyle {}L^{\times }}$ genau ${\displaystyle {}q-1}$ Elemente besitzt, gilt nachKorollar 4.17die Gleichung${\displaystyle {}x^{q-1}=1}$für jedes ${\displaystyle {}x\in L^{\times }}$ und damit auch${\displaystyle {}x^{q}=x}$für jedes${\displaystyle {}x\in L}$.Dieses Polynom vom Grad ${\displaystyle {}q}$ hat also in ${\displaystyle {}L}$ genau ${\displaystyle {}q}$ verschiedene Nullstellen, so dass es also über ${\displaystyle {}L}$ zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich ${\displaystyle {}L}$, so dass ${\displaystyle {}L}$ der Zerfällungskörper ist.