Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Liste der Hauptsätze
Es sei
mit eine kubische Gleichung. Wir setzen.Es seien
wobei diese dritten Wurzeln so gewählt seien, dassist.
Dann sind(mit der dritten Einheitswurzel )die Elemente
die Lösungen dieser kubischen Gleichung.
Jedes nichtkonstantePolynomüber denkomplexen Zahlen
besitzt eineNullstelle.
SeieineKörpererweiterung.
Dann ist in natürlicher Weise ein -Vektorraum.
Es sei ein Körpermit einerCharakteristik und es sei einequadratische Körpererweiterung.
Dann gibt es ein , und .
Seien und endliche Körpererweiterungen.
Dann ist auch eine endliche Körpererweiterung und es gilt
Es sei.
Die Nullstellen des Polynoms über sind
In gilt die Faktorisierung
Es sei einKörper.
Dann gilt in die Beziehung
Für jede -te Einheitswurzelgilt
In einemIntegritätsbereichist einPrimelementstetsirreduzibel.
Es sei einKörper und sei ein von verschiedenes Polynom.
Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren)eindeutige Produktdarstellung
mitundirreduziblennormiertenPolynomen, .
EinPolynomringüber einemKörper
ist einHauptidealbereich.
Es sei einHauptidealbereich und seienteilerfremdeElemente.
Dann kann man die als Linearkombination von und darstellen, d.h. es gibt Elementemit.
Es sei ein Hauptidealbereichund. Es seien und teilerfremdund teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .
Es sei einHauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
Es seien und Gruppen.
EinGruppenhomomorphismus ist genau danninjektiv,wenn derKernvon trivial ist.
Es sei eine endlicheGruppe undeine Untergruppevon .
Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von .
Es sei eine endlicheGruppe und seiein Element.
Dann teilt die Ordnung von die Gruppenordnung.
Es sei eine Gruppeund ein Normalteiler. Es sei die Menge der Nebenklassen(die Quotientenmenge)und
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass einGruppenhomomorphismusist.
Es seien und Gruppen,es seieinGruppenhomomorphismusundein surjektiverGruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dassist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und Gruppenund sei
ein surjektiverGruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonischeIsomorphie
Es seien und Gruppenund sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei diekanonische Projektion, einGruppenisomorphismusund die kanonische Inklusion der Bildgruppeist.
Es sei einkommutativer Ringund sei derPolynomringüber . Es sei ein weitererkommutativer Ringund es seieinRinghomomorphismus undein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mitund mit,wobeidie kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynomauf .
Es seien und kommutative Ringeund sei
einRinghomomorphismus.Dann ist der Kern
ein Idealin .
Es sei einKörper, eine-Algebraundein Element. Es sei dasMinimalpolynomvon über .
Dann ist der Kerndes kanonischen-Algebrahomomorphismus
das von erzeugte Hauptideal.
Es seien und kommutative Ringe,es seieinRinghomomorphismusundein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dassist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und kommutative Ringeund es sei
ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonischeIsomorphie von Ringen
Es seien und kommutative Ringeund es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei diekanonische Projektion, einRingisomorphismusund die kanonische Inklusion desBildesist.
Es sei einHauptidealbereichundein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
- ist ein Primelement.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist ein Körper.
Es sei einKörper und, , ein Polynom.
Dann ist genau dannirreduzibel, wenn der Restklassenring einKörper ist.
Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörigeRestklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist einKörper.
- ist einIntegritätsbereich.
- ist eine Primzahl.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seiein Polynom vom Grad undder zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln(wir bezeichnen die Restklasse von in mit ).
- Man kann stets als normiert annehmen(also ; das werden wir im Folgenden tun).
- In ist.
- Höhere Potenzen, ,kann man mit den Potenzen, ,ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
- Die Potenzen bilden eine -Basis von .
- ist ein -Vektorraum der Dimension .
- In werden zwei Elemente und komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
SeieineKörpererweiterungund sei einalgebraischesElement. Es sei dasMinimalpolynomvon .
Dann gibt es eine kanonische-Algebraisomorphie
SeieineKörpererweiterungund sei einalgebraischesElement. Dann gelten folgende Aussagen.
- DasMinimalpolynom von über istirreduzibel.
- Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom mitist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
Seieine einfache endliche Körpererweiterungvom Grad. Dann hat das Minimalpolynom von die Gestalt
Es seieine endliche Untergruppeder multiplikativen Gruppe eines Körpers.
Dann ist zyklisch.
Es sei einendlicher Körper.
Dann ist die Einheitengruppe einezyklische Gruppe.
Es sei einendlicher Körper.
Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und.
Es sei eine Primzahl.
Dann ist.
SeieineKörpererweiterungund sei einalgebraischesElement.
Dann ist die von erzeugte -AlgebraeinKörper.
Es seieineKörpererweiterungund seiein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- istalgebraischüber .
- Es gibt ein normiertes Polynom mit .
- Es besteht einelineare Abhängigkeitzwischen den Potenzen
- Die von über erzeugte -Algebra hat endliche -Dimension.
- liegt in einer endlichdimensionalen-Algebra.
Es seieine Körpererweiterung und sei deralgebraische Abschluss von in .
Dann ist einUnterkörper von .
Es seieine Körpererweiterung,,ein Polynom mitund sei.
Dann ist auch.
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist dieGaloisgruppe endlich.
Es sei ein Körperund ein Polynom aus .
Dann gibt es einen Erweiterungskörperderart, dass über in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei einKörper und sei ein Polynom. Es seien und zweiZerfällungskörper von .
Dann gibt es einen -Algebraisomorphismus
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.
Es sei einePrimzahlund.
Dann gibt es bis auf Isomorphiegenau einenKörpermitElementen.
Es sei einKörper, eineendlichekommutative Gruppeundeine-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften
- Jede homogene Stufe besitzt die-Dimension.
- Es ist.
- Es seieinErzeugendensystemvon und es sei, ,fixiert. Dann ist.Insbesondere wird von homogenen Elementen erzeugt.
- Jedes homogene Element, ,besitzt einMinimalpolynomder Form mit.
- Die Körpererweiterungist eineRadikalerweiterung.
Es sei einKörper, einekommutative Gruppeund eine-graduiertekommutative-Algebra.
Dann gibt es einenGruppenhomomorphismus
derCharaktergruppevon in die(homogene)-Automorphismengruppevon .
Wenn allesind, so ist diese Zuordnunginjektiv.
Es sei eine endliche kommutative Gruppeund sei,wobei den Exponentender Gruppe bezeichnet.
Dann ist zyklisch.
Es sei einKörper und sei ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- istseparabel.
- Es gibt eine Körpererweiterungderart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
- und dieAbleitung sindteilerfremd.
- und dieAbleitung erzeugen dasEinheitsideal.
Es seieineendliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome der separabelsind.
Dann ist die Erweiterung
separabel.
Es seieine endlicheeinfache Körpererweiterungundein Zwischenkörper. Es seidasMinimalpolynomvon über .
Dann ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann istgenau dann eineeinfache Körpererweiterung,wenn es nur endlich viele Zwischenkörpergibt.
Seieine endlicheseparable Körpererweiterung.Dann wird von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein mit
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom .
Es sei einKörper, einPolynomund derZerfällungskörpervon . Es seien die Nullstellen von in .
Dann gibt es einen natürlichen injektivenGruppenhomomorphismus
derGaloisgruppe in diePermutationsgruppeder Nullstellen.
Es sei einMonoid, einKörperund seien Charaktere.
Dann sind diese Charakterelinear unabhängig(als Elemente in ).
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist
Es sei einKörper, eineendlichekommutative Gruppeundeine-graduierte Körpererweiterung. Der Körper enthalte eine -teprimitive Einheitswurzel,wobei derExponentvon sei.
Dann isteineGaloiserweiterungmitGaloisgruppe.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Körpererweiterung istnormal.
- Wenn einirreduzibles Polynom eine Nullstelle in besitzt, sozerfälltes in .
- Es gibt ein-Algebraerzeugendensystem, ,von und über zerfallendePolynome, , ,mit.
- Für jede Körpererweiterungund jeden-Algebrahomomorphismus
ist .
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann istgenau dann einenormale Körpererweiterung,wenn Zerfällungskörpereines Polynomsist.
Es seieineendlichenormale Körpererweiterung und es seien .
Dann sind und genau dannkonjugiert,wenn es einen-Automorphismusmitgibt.
Es sei einKörper und seieineendlicheUntergruppederAutomorphismengruppevon . Es sei.
Dann ist
Insbesondere isteineGaloiserweiterung mitGaloisgruppe .
Es sei eine endliche Körpererweiterung und seidieGaloisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- Die Körpererweiterungist eineGaloiserweiterung.
- Es ist.
- Die Körpererweiterungist normalundseparabel.
- istZerfällungskörpereinesseparablen Polynoms.
Es seieineendlicheGaloiserweiterung und, ,ein Zwischenkörper.
Dann ist aucheine Galoiserweiterung.
Es sei einePrimzahlund , .
Dann ist die KörpererweiterungeineGaloiserweiterungmit einerzyklischenGaloisgruppederOrdnung, die vomFrobeniushomomorphismuserzeugt wird.
Es seieineendlicheGaloiserweiterung mit der Galoisgruppe.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper, ,und der Menge der Untergruppen von .
Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.
Es seieineendlicheGaloiserweiterung und, ,ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Körpererweiterungist genau dann eineGaloiserweiterung,wenn die UntergruppeeinNormalteilerist.
- Seieine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung
Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus auf eingeschränkt.
Es sei und sei einKörper,der eine -teprimitive Einheitswurzelenthält. Es seieineendliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenneine-graduierte Körpererweiterungist, so isteine Kummererweiterungzum Exponenten .
- Seieine Kummererweiterung zum Exponenten mitGaloisgruppe. Es seidieCharaktergruppevon . Zu sei
Dann isteine-graduierte Körpererweiterung.
Es sei und sei einKörper,der eine -teprimitive Einheitswurzelenthält. Es seieineKummererweiterungzum Exponenten mitGaloisgruppe, zugehöriger Charaktergruppeund zugehöriger Graduierung
Es seien die homogenen Elemente von .
Dann ist die natürliche Inklusion
einGruppenisomorphismus.
Es sei und sei einKörper, der eine -teprimitive Einheitswurzelenthält. Es seieineKörpererweiterung.
Dann ist genau dann eineKummererweiterungzum Exponenten , wenn es eine Beschreibung
mit gibt.
Es seiein Polynom. Es sei einePrimzahlmit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.
Dann ist irreduzibelin .
DieKreisteilungspolynome sindirreduzibelüber .
Der -te Kreisteilungskörper über hat die Beschreibung
wobei das -teKreisteilungspolynombezeichnet.
Der Grad des -ten Kreisteilungskörpers ist .
Es sei der-te Kreisteilungskörper.
Dann isteineGaloiserweiterungmit der Galoisgruppe
Dabei entspricht der Einheit derjenige Automorphismus , der eine -te Einheitswurzel auf abbildet.
Für
sind die Permutationsgruppen nichtauflösbar.
Es sei einKörper derCharakteristik und seieine Galoiserweiterung.
Dann ist die Körpererweiterunggenau dannauflösbar,wenn ihreGaloisgruppe auflösbarist.
Es sei einKörper derCharakteristik und sei ein Polynom vom Grad .
Dann ist auflösbar.
D.h. es gibt eineRadikalerweiterung,so dass über in Linearfaktoren zerfällt.
Für
gibt es polynomiale Gleichungen (über )vom Grad , die nichtauflösbarsind.
In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.
- Zu einer Geraden und zwei Punkten kann man die zu senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen und halbiert.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt kann man die Gerade durch zeichnen, die zu parallel ist.
Es sei eine mit zwei Punkten und markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel aus mittels Zirkel und Linealkonstruierbar.
Eine mit Zirkel und Linealkonstruierbare Zahl
istalgebraisch.
Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Sei eine endlicheGruppe und seien die Konjugationsklassenvon mit mindestens zwei Elementen.
Dann ist
Es seieinUnterkörperund . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die komplexe Zahl ist aus konstruierbar.
- Es gibt in eine Körperkette ausquadratischen Körpererweiterungen
mit .
- Das Element ist algebraisch über , und der Grad des Zerfällungskörpers von über ist eine Zweierpotenz.
- Das Element ist algebraisch über , und die OrdnungderGaloisgruppedes Zerfällungskörpers von über ist eine Zweierpotenz.
- Es gibt eineendliche Galoiserweiterung(in )mit , deren Grad eine Zweierpotenz ist.
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Linealin drei gleich große Teile zu unterteilen.
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlensind.
Es sei ein Grundkörper undeineKörpererweiterung mitendlichen Transzendenzbasen und .
Dann gibt es zu jedem Element der ersten Transzendenzbasis ein Element der zweiten Transzendenzbasis derart, dass ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.
Es sei ein Grundkörper undeineKörpererweiterung mit einerendlichen Transzendenzbasis.
Dann besitzt jede Transzendenzbasis von über gleich viele Elemente.
Es seieine Kette vonKörpererweiterungen.
Dann ist