Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 5

Es sei ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ die Menge der invertierbaren${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass für zueinanderkonjugierteMatrizen${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ aus ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante,die Eigenwerte,die Dimension der Eigenräumezu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit,die Trigonalisierbarkeit.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe.Betrachte die Relation${\displaystyle {}R}$ auf ${\displaystyle {}G}$, wobei ${\displaystyle {}xRy}$ bedeutet, dass es eineninneren Automorphismus${\displaystyle {}\kappa _{g}}$ mit${\displaystyle {}x=\kappa _{g}(y)}$gibt. Zeige, dass diese Relation eineÄquivalenzrelationist.

Zu einer Gruppe${\displaystyle {}G}$ nennt man dieÄquivalenzklassenzur Äquivalenzrelation,bei der zwei Elemente als äquivalent(oder konjugiert)gelten, wenn sie durch eineninneren Automorphismusineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

1. Bestimme die Konjugationsklassenauf der Drehgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$.
2. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ innerhalb von ${\displaystyle {}\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$.
3. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ innerhalb von ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$.
4. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ innerhalb von ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und sei${\displaystyle {}K\subseteq {\mathbb {C} }}$einUnterkörper.Wir betrachten denGruppenhomomorphismus

${\displaystyle S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },}$

der jederPermutation${\displaystyle {}\pi }$ die zugehörigePermutationsmatrixzuordnet. Zeige, dass zwei Permutationen ${\displaystyle {}\pi ,\rho }$ genau dannkonjugiertin ${\displaystyle {}S_{n}}$ sind, wenn ihre zugehörigen Permutationsmatrizen ${\displaystyle {}M_{\pi },M_{\rho }}$ ähnlichsind.

Es seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$Gruppenund sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(N)}$ einesNormalteilers${\displaystyle {}N\subseteq H}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}G}$ ist.

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern${\displaystyle {}N_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,in einer Gruppe${\displaystyle {}G}$ ein Normalteiler ist.

Es seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$Gruppenund sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ${\displaystyle {}\varphi }$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H}$?

Zu${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$heißt dieUntergruppe

${\displaystyle {}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,}$

der geraden Permutationendie alternierende Gruppe.

Bestimme, ob diealternierende Gruppe${\displaystyle {}A_{n}}$ einNormalteilerin der Permutationsgruppe${\displaystyle {}S_{n}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ die allgemeine lineare Gruppederinvertierbaren Matrizenund

${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\,}$

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante ${\displaystyle {}1}$. Zeige, dass die Linksnebenklasse(und auch die Rechtsnebenklasse)zu ${\displaystyle {}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit ${\displaystyle {}\det M}$ übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ einNormalteilerin ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ ist.

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen${\displaystyle {}F\subseteq G\subseteq H}$ an derart, dass ${\displaystyle {}F}$ einNormalteilerin ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}G}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H}$, aber ${\displaystyle {}F}$ kein Normalteiler in ${\displaystyle {}H}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe.Das Zentrum ${\displaystyle {}Z=Z(G)}$ von ${\displaystyle {}G}$ ist die Teilmenge

${\displaystyle {}Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe und sei ${\displaystyle {}H\subseteq Z}$ eineUntergruppedesZentrumsvon ${\displaystyle {}G}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}H}$ einNormalteilerin ${\displaystyle {}G}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe.Zeige, dass dasZentrum${\displaystyle {}Z\subseteq G}$einNormalteilerin ${\displaystyle {}G}$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.}$

Was ist das Bildvon diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppeund sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge mit einer Verknüpfung.Es sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow M}$

eine surjektive Abbildung mit${\displaystyle {}\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)}$für alle ${\displaystyle {}g,h\in G}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ eine Gruppeund ${\displaystyle {}\varphi }$ einGruppenhomomorphismusist.

Es seien ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$Gruppenmit der Produktgruppe${\displaystyle {}G\times H}$. Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}G\times \{e_{H}\}}$ einNormalteilerin ${\displaystyle {}G\times H}$ ist, und dass die Restklassengruppe ${\displaystyle {}(G\times H)/G\times \{e_{H}\}}$ kanonischisomorphzu ${\displaystyle {}H}$ ist.

Es seien${\displaystyle {}G_{1}}$ und ${\displaystyle {}G_{2}}$Gruppenund seien ${\displaystyle {}N_{1}\subseteq G_{1}}$ und ${\displaystyle {}N_{2}\subseteq G_{2}}$Normalteiler.Zeige, dass ${\displaystyle {}N_{1}\times N_{2}}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}G_{1}\times G_{2}}$ ist und dass eineIsomorphie

${\displaystyle {}(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,}$

vorliegt.

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${\displaystyle {}a\neq 0}$ dieRestklassengruppen${\displaystyle {}\mathbb {R} /\mathbb {Z} a}$ untereinanderisomorphsind.

Bestimme die Restklassengruppe zu ${\displaystyle {}\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }}$.

Zeige, dass es in derRestklassengruppe${\displaystyle {}\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ Elemente gibt, derenOrdnunggleich ${\displaystyle {}n}$ ist.

Zeige, dass es keine Untergruppe ${\displaystyle {}F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)}$ derart gibt, dass

${\displaystyle F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

einIsomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppeund ${\displaystyle {}g\in G}$ ein Element mit dem(nachLemma 4.4)zugehörigen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.}$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${\displaystyle {}\varphi }$ gemäßSatz 5.12.

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dasszyklische Gruppenmit der gleichen Ordnungisomorph sind.

Es sei ${\displaystyle {}S_{3}}$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge ${\displaystyle {}\{1,2,3\}}$ in sich selbst. Bestimme dieKonjugationsklassendieser Gruppe.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahlund ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ die zyklische Gruppemit ${\displaystyle {}p}$ Elementen. Finde eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ derart, dass${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq G}$eineUntergruppeist und dass in ${\displaystyle {}G}$ je zwei von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ zueinanderkonjugiertsind.

Bestimme die Konjugationsklassender (eigentlichen)Würfelgruppe.

Es seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$Gruppenund sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein surjektiverGruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild${\displaystyle {}\varphi (N)}$ eines Normalteilers${\displaystyle {}N\subseteq G}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H}$ ist.

Zeige, dass jede Untergruppevom Indexzwei in einer Gruppe${\displaystyle {}G}$ einNormalteilerin ${\displaystyle {}G}$ ist.