Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 4

Es seien ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$Gruppen und${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow H}$ sei einGruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi (e_{G})=e_{H}}$ und ${\displaystyle {}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})}$ für jedes${\displaystyle {}g\in G}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe.Zeige, dass sich Gruppenelemente${\displaystyle {}g\in G}$undGruppenhomomorphismen${\displaystyle {}\varphi }$ von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ nach ${\displaystyle {}G}$ über die Korrespondenz

${\displaystyle g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)}$

entsprechen.

Seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$ Gruppenund sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H}$

ein Gruppenisomorphismus.Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

${\displaystyle \varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),}$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$Gruppen und sei${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow H}$ einGruppenhomomorphismus.Zeige, dass das Bild von ${\displaystyle {}\varphi }$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}H}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine (multiplikativ geschriebene)kommutative Gruppeund sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass das Potenzieren

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},}$

einGruppenhomomorphismusist.

Betrachte dieGruppeder komplexen Zahlen ohne null, ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }=({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)}$. Bestimme für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ den Kerndes Potenzierens

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.}$

Sind diese Gruppenhomomorphismensurjektiv?

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow H}$einsurjektiverGruppenhomomorphismus.Zeige, dass durch ${\displaystyle {}U\mapsto \varphi (U)}$ und ${\displaystyle {}V\mapsto \varphi ^{-1}(V)}$ eine Bijektion zwischen den Untergruppenvon ${\displaystyle {}H}$ und denjenigen Untergruppen von ${\displaystyle {}G}$, die ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi }$ umfassen, gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe.Zeige, dass jedes Element${\displaystyle {}g\in G}$eine endliche Ordnungbesitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass die Determinante

${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,M\longmapsto \det M,}$

einsurjektiverGruppenhomomorphismusist.

Man gebe für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ eineinvertierbare Matrix${\displaystyle {}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ an, derart, dass dieOrdnungvon ${\displaystyle {}M}$ gleich ${\displaystyle {}n}$ ist.

Man gebe eine Matrix ${\displaystyle {}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}}$ derOrdnung${\displaystyle {}4}$ an.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$einelineare Abbildungauf einemendlichdimensionalen${\displaystyle {}K}$-Vektorraum${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dannendliche Ordnungbesitzt, wenn dasMinimalpolynomvon ${\displaystyle {}\varphi }$ ein Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ für ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörpermitpositiver Charakteristik${\displaystyle {}p>0}$.Zeige, dass die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

die endliche Ordnung${\displaystyle {}p}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körperund ${\displaystyle {}M}$ eineinvertierbare${\displaystyle {}n\times n}$-Matrixüber ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ endlicheOrdnungbesitzt.

Bestimme dieNebenklassenzu den folgenden Untergruppenvonkommutativen Gruppen.

1. ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)}$.
2. ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)}$.
3. ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,0,+)\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)}$.
4. ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} n,0,+)\subseteq (\mathbb {Z} ,0,+)}$(${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$).
5. ${\displaystyle {}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )}$.
6. ${\displaystyle {}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid z^{n}=1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )}$ (${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist derIndexendlich?

Stifte einen surjektivenGruppenhomomorphismusvon der Gruppeder komplexen Zahlen ohne null ${\displaystyle {}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)}$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)}$.

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,0,+)}$ und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )}$.

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,0,+)}$ und ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )}$nichtisomorphsind.

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },}$

die einer Permutation${\displaystyle {}\pi }$ auf ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$ ihre Permutationsmatrix${\displaystyle {}M_{\pi }}$ zuordnet, eininjektiverGruppenhomomorphismusist.

Es sei${\displaystyle {}M={\{1,\ldots ,n\}}}$ und sei ${\displaystyle {}\pi }$ einePermutationauf ${\displaystyle {}M}$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ ist dadurch gegeben, dass

${\displaystyle {}a_{\pi (i),i}=1\,}$

ist und alle anderen Einträge ${\displaystyle {}0}$ sind. Zeige, dass

${\displaystyle {}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,}$

ist.

Betrachte die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.}$

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismusvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{2}}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{2}}$ und ebenso von${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivitätund Surjektivität.

Bestimme die Gruppenhomomorphismenvon ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ nach ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,+,0)}$.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass die Gruppe der ${\displaystyle {}n}$-tenEinheitswurzelnin ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und die Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ isomorphsind.

Man gebe für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ eineinvertierbare Matrix${\displaystyle {}M\in \operatorname {GL} _{k}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}}$ an(dabei sei ${\displaystyle {}k}$ geeignet gewählt),derart, dass dieOrdnungvon ${\displaystyle {}M}$ gleich ${\displaystyle {}n}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe,in der jedes Element die Ordnungzwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement ${\displaystyle {}g}$ gilt ${\displaystyle {}g^{2}=e}$. Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}G}$ dannabelschist.

Man gebe eine Matrix ${\displaystyle {}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}}$ derOrdnung${\displaystyle {}3}$ an.