Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 23

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eineendliche Mengeund ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge, und es seien${\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(T)}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(M)}$die zugehörigenPermutationsgruppenZeige, dass durch

${\displaystyle \Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},}$

mit

${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,}$

eininjektiverGruppenhomomorphismusgegeben ist.

Zeige, dass zwei Permutationenmit disjunktemWirkungsbereichvertauschbarsind.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine endliche Menge und sei ${\displaystyle {}\sigma }$ eine Permutationauf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}x\in M}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\left\{n\in \mathbb {Z} \mid \sigma ^{n}(x)=x\right\}}}$ eineUntergruppevon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${\displaystyle {}\operatorname {ord} _{x}{\sigma }}$. Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(\sigma )=\operatorname {kgV} {\left\{\operatorname {ord} _{x}{\sigma }\mid x\in M\right\}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ einezyklische Gruppeder Ordnung ${\displaystyle {}6}$. Für welche ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ lässt sich ${\displaystyle {}G}$ als Untergruppe der Permutationsgruppe${\displaystyle {}S_{n}}$ realisieren?

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${\displaystyle {}S_{n}}$ zu einer Menge mit ${\displaystyle {}n}$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${\displaystyle {}S_{n}}$ Elemente der Ordnung${\displaystyle {}n}$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${\displaystyle {}S_{n}}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${\displaystyle {}n}$ ist.

Zeige, dass inLemma 23.1die Voraussetzung, dass die beiden Teilmengen ${\displaystyle {}T_{1},T_{2}}$ nicht disjunkt sind, wesentlich ist.

Zeige, dass diealternierende Gruppe${\displaystyle {}A_{n}\subseteq S_{n}}$für ${\displaystyle {}n\geq 3}$ einetransitive Untergruppeist.

Bestimme für jede Untergruppe${\displaystyle {}G\subseteq S_{4}}$derPermutationsgruppe${\displaystyle {}S_{4}}$, ob es sich um einetransitive Untergruppehandelt oder nicht.

Es sei${\displaystyle {}G\subseteq S_{n}}$eine Untergruppe derPermutationsgruppe${\displaystyle {}S_{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ genau dann einetransitive Untergruppeist, wenn es ein Element ${\displaystyle {}z\in {\{1,\ldots ,n\}}}$ derart gibt, dass es zu jedem Element ${\displaystyle {}w\in {\{1,\ldots ,n\}}}$ eine Permutation ${\displaystyle {}\pi \in G}$ mit${\displaystyle {}\pi (z)=w}$gibt.

Es sei${\displaystyle {}G\subseteq S_{n}}$eine Untergruppe derPermutationsgruppe${\displaystyle {}S_{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ genau dann keinetransitive Untergruppeist, wenn es eine echte Zerlegung

${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}=S\uplus T\,}$

derart gibt, dass

${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {Perm} \,(S)\times \operatorname {Perm} \,(T)\subseteq S_{n}\,}$

gilt.

Es sei${\displaystyle {}G\subseteq S_{n}}$eine Untergruppe derPermutationsgruppe${\displaystyle {}S_{n}}$. Zeige, dass auf ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$ durch ${\displaystyle {}x\sim _{G}y}$, falls es ein ${\displaystyle {}\pi \in G}$ mit${\displaystyle {}\pi (x)=y}$gibt, eineÄquivalenzrelationgegeben ist.

1. Zeige, dass einetransitive Untergruppe${\displaystyle {}G\subseteq S_{n}}$zumindest ${\displaystyle {}n}$ Elemente besitzt.
2. Zeige, dass es einetransitive Untergruppe${\displaystyle {}G\subseteq S_{n}}$mit genau ${\displaystyle {}n}$ Elementen gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ einseparablesirreduzibles Polynom.Es sei ${\displaystyle {}L}$ derZerfällungskörper von ${\displaystyle {}F}$, ${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ seine Galoisgruppe und ${\displaystyle {}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}L}$. NachLemma 14.2ist ${\displaystyle {}G}$ eineUntergruppe derPermutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um einetransitive Untergruppe handelt.

Man gebe ein irreduzibles Polynom ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ vom Grad ${\displaystyle {}4}$ an, das in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die ${\displaystyle {}S_{4}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}a}$ einePrimzahl,${\displaystyle {}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]}$und${\displaystyle {}L=Z(F)}$derZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}F}$. Bestimme den Grad der Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \cap L}$.Handelt es sich um eine Galoiserweiterung?

Es sei ${\displaystyle {}a}$ einePrimzahl,${\displaystyle {}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]}$und${\displaystyle {}L=Z(F)}$derZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}F}$. Es seien ${\displaystyle {}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{5}}$ die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

1. Zeige, dass

   ${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}{\text{ und }}\prod _{i=1}^{5}\alpha _{i}}$

   rationale Zahlen sind.

2. Zeige, dass

   ${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}}$

   zu ${\displaystyle {}L^{A_{n}}}$ gehört, aber nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

3. Zeige, dass

   ${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}^{2}}$

   eine rationale Zahl ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ keinePrimzahl.Zeige, dass es eine echteUntergruppe ${\displaystyle {}H\subset S_{n}}$ gibt, dietransitiv ist und die mindestens eineTransposition enthält.

Eliminiere in ${\displaystyle {}X^{5}+a^{2}X^{4}-a}$ (mit ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$)durch eine geeignete Substitution(einen Variablenwechsel)den Term zum Grad ${\displaystyle {}4}$.

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ einirreduzibles Polynomvom Grad ${\displaystyle {}3}$ und seien ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb {C} }}$ die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$. Zeige, dass die Differenzen${\displaystyle {}\alpha -\beta }$ und ${\displaystyle {}\beta -\gamma }$nicht beide aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ sein können.

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ einirreduzibles Polynomvom Grad ${\displaystyle {}3}$. Zeige, dass die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ nicht die Form ${\displaystyle {}\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}}$ (mit einem ${\displaystyle {}\alpha \in {\mathbb {C} }}$) haben können.

Zeige, dass es einirreduzibles Polynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ vom Grad ${\displaystyle {}4}$ gibt, dessen Nullstellen in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ die Form ${\displaystyle {}\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}}$ besitzen.