Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 22

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung.Zeige, dass diese Erweiterung genau dann normalist, wenn die normale Hüllegleich ${\displaystyle {}L}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperund ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ einirreduzibles Polynom.Zeige, dass dienormale Hülle derKörpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq K[X]/(F)}$gleich demZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}F}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eineauflösbare Körpererweiterung.Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq K'}$ eine weitere Körpererweiterung und es sei ${\displaystyle {}L'=LK'}$ dasKompositumvon${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}K'}$(das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei).Zeige, dass auch ${\displaystyle {}K'\subseteq L'}$ auflösbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und seien ${\displaystyle {}P,F\in K[X]}$ nichtkonstante Polynome. Wir setzen ${\displaystyle {}Q=P(F)}$ (in ${\displaystyle {}P}$ wird also das Polynom ${\displaystyle {}F}$ eingesetzt).Zeige, dass man denZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}P}$ in den Zerfällungskörper von ${\displaystyle {}Q}$ einbetten kann.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ einauflösbares Polynom.Zeige, dass auch ${\displaystyle {}P(X^{n})}$ auflösbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}3}$. Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass ${\displaystyle {}P}$ auflösbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}3}$. Setze die Körpererweiterungen von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, die sich ausder Cardanoschen Formelergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie überSatz 22.6ergeben.

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${\displaystyle {}K}$ und zerfallende Polynome ${\displaystyle {}F,G\in K[X]}$ derart, dass die Einsetzung ${\displaystyle {}F(G)}$ nicht zerfällt.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ vomGrad${\displaystyle {}n}$ derart, dass ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )}$ trivial ist.

Es seien${\displaystyle {}K\subseteq L}$ und ${\displaystyle {}L\subseteq M}$auflösbare Körpererweiterungen.Zeige, dass auch ${\displaystyle {}K\subseteq M}$ auflösbar ist.

Es seien${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}G}$auflösbare Polynomeüber einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass das Produkt ${\displaystyle {}FG}$ ebenfalls auflösbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}E\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ein reguläres ${\displaystyle {}n}$-Eck(${\displaystyle n\geq 3}$) mit den Eckpunkten ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$, und es sei ${\displaystyle {}V}$ der von diesen Eckpunktenerzeugte${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Vektorraum.

a) Zeige die Abschätzungen

${\displaystyle {}\varphi (n)\leq \dim _{\mathbb {Q} }{\left(V\right)}\leq \varphi (n)+1\,.}$

(Dabei bezeichnet ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ dieeulersche ${\displaystyle {}\varphi }$-Funktion).

b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.