Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 15

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ einirreduzibles Polynomvom Grad${\displaystyle {}3}$ und es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine Körpererweiterung,in der ${\displaystyle {}F}$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}L}$ nicht die Form ${\displaystyle {}\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma }$ mit rationalen Zahlen ${\displaystyle {}\beta ,\gamma }$ haben können.

Zeige, dass man inSatz 15.4  (2)nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.

Zeige, dass man inSatz 15.4die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:

Zu jeder Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq M}$ und zu zwei${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon L\longrightarrow M}$

ist ${\displaystyle {}\varphi _{1}(L)=\varphi _{2}(L)}$.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ eineendlichenormale Körpererweiterungund sei

${\displaystyle \kappa \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\kappa (K)\subseteq K}$ gilt.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}\kappa {|}_{K}=\operatorname {Id} _{K}}$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$ einerationale Zahl,die in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ keine dritte Wurzel besitzt, so dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)}$ eine Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}3}$ ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4,dass diese Körpererweiterung nicht normalist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von ${\displaystyle {}L}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ an.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendlichenormale Körpererweiterung und${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$, ein Zwischenkörper, der über ${\displaystyle {}K}$ nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper ${\displaystyle {}M'\neq M}$ gibt, der zu ${\displaystyle {}M}$ isomorph ist.

Wir betrachten die Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq M}$ ausBeispiel 15.6.Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4,dass diese Körpererweiterung nicht normalist.

Finde für den Körper ${\displaystyle {}L}$ ausBeispiel 14.9eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle {}L\subseteq L'}$ mit ${\displaystyle {}L'\subseteq {\mathbb {C} }}$ und so, dass ${\displaystyle {}L'}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ normal ist. Beschreibe einen${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon L'\rightarrow L'}$mit ${\displaystyle {}\varphi (L)\neq L}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppeund${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler ${\displaystyle {}p^{r}}$ von ${\displaystyle {}{\#\left(D\right)}}$ enthalte ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}p^{r}}$-teprimitive Einheitswurzel. Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineseparable Körpererweiterungist.

Bestimme für die Körpererweiterung ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{3}\subseteq {\mathbb {F} }_{9}}$, welche Elemente aus ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{9}}$ untereinanderkonjugiertsind.

Man gebe in jeder Charakteristik Beispiele für einenormale Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$vomGrad ${\displaystyle {}3}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${\displaystyle {}M_{1},M_{2}}$Zwischenkörper, die beide über ${\displaystyle {}K}$ normalseien. Zeige, dass auch ${\displaystyle {}K\subseteq M_{1}\cap M_{2}}$ normal ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppeund${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler ${\displaystyle {}p^{r}}$ von ${\displaystyle {}{\#\left(D\right)}}$ enthalte ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}p^{r}}$-teprimitive Einheitswurzel.Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subseteq L}$einenormale Körpererweiterungist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendlichenormale und separable Körpererweiterung. Es sei ${\displaystyle {}x\in L}$mit ${\displaystyle {}x^{n}=a\in K}$, wobei ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}K(x)=n}$ sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ${\displaystyle {}n}$ verschiedene ${\displaystyle {}n}$-teEinheitswurzelnbesitzt.

Bestimme für die Körpererweiterung ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{8}}$, welche Elemente aus ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{8}}$ untereinanderkonjugiertsind.