Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 14

InterpretiereLemma 14.2für den Fall einerquadratischen Körpererweiterung.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$derZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}X^{n}-1}$, also der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und es sei ${\displaystyle {}G}$ dieGaloisgruppeder Erweiterung. Zeige, dass bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade ein natürlicher injektiverGruppenhomomorphismus${\displaystyle {}G\rightarrow S_{n-1}}$und bei ${\displaystyle {}n}$ gerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus${\displaystyle {}G\rightarrow S_{n-2}}$vorliegt.

1. Bestimme die Zerlegung von ${\displaystyle {}X^{4}-7}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.
2. Bestimme denZerfällungskörper${\displaystyle {}L}$ von ${\displaystyle {}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]}$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$.
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von ${\displaystyle {}X^{4}-7}$ von der Galoisgruppe herrühren.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine weitere Körpererweiterung. Es sei ${\displaystyle {}E}$ die Menge der${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismenvon ${\displaystyle {}L}$ nach ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass die Zuordnung

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(E),\,\varphi \longmapsto (\iota \mapsto \iota \circ \varphi ),}$

einGruppenhomomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}G}$ eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen von ${\displaystyle {}M}$ nach ${\displaystyle {}M}$. Es sei${\displaystyle {}T\subseteq M}$eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes ${\displaystyle {}\varphi \in G}$ die Menge ${\displaystyle {}T}$ in sich selbst überführt. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \psi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(T),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{T},}$

einGruppenhomomorphismusist. Man gebe Beispiel für solche Situationen, wo ${\displaystyle {}\psi }$ (nicht)injektiv,(nicht)surjektivist.

Zeige, dass jedeIsometriedes ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ eine Selbstabbildung der ${\displaystyle {}(n-1)}$-dimensionalen Sphäre

${\displaystyle {}S^{n-1}={\left\{P\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}\,}$

induziert.

Beschreibe die Wirkungsweise dereigentlichen Würfelgruppeauf der Menge der Ecken, der Kantenmenge, der Menge der Seitenmittelpunkte, der Raumdiagonalen durch geeignete Gruppenhomorphismen.

Betrachte die Menge ${\displaystyle {}\mu _{4}({\mathbb {C} })}$ der viertenEinheitswurzeln in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Welche sind untereinander über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ konjugiert?

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterungund seien ${\displaystyle {}f,g\in L}$ konjugierte Elemente.Zeige, dass dann${\displaystyle {}N(f)=N(g)}$und${\displaystyle {}S(f)=S(g)}$gilt.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass die ${\displaystyle {}n}$ Vektoren(im ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{n}}$)

${\displaystyle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{n-1}),\zeta \in \mu _{n}({\mathbb {C} }),}$

linear unabhängigsind.

Begründe mit demLemma von Dedekind,dass die reelle Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

den Rang${\displaystyle {}4}$ besitzt.

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$und sei${\displaystyle {}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}}$.Berechne dieDeterminanteder ${\displaystyle {}(n\times n)}$-Matrix

${\displaystyle ((\zeta ^{r+s})_{0\leq r,s\leq n-1})}$

für${\displaystyle {}n=1,2,3,4}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper mit einerCharakteristik${\displaystyle {}\neq 2}$ und sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$einequadratische Körpererweiterung.Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineGaloiserweiterungist.

Zeige, dass diequadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{4}}$ eineGaloiserweiterung ist.

Zeige, dass diequadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{2}(X)\subseteq {\mathbb {F} }_{2}(X)[T]/(T^{2}-X)}$ keineGaloiserweiterung ist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}\mu _{n}(L)}$(zu ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$)die Gruppe der ${\displaystyle {}n}$-tenEinheitswurzelnin ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass es zu jedem ${\displaystyle {}n}$ einennatürlichenGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(\mu _{n}(L))}$

gibt.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \det \varphi ,}$

einGruppenhomomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endlichekommutative Gruppe mit der zugehörigenCharaktergruppe ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ in einen Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),}$

einGruppenhomomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}L}$ einKörper und sei

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow L}$

einKörperautomorphismus.Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},}$

einRingautomorphismusdes Polynomrings ${\displaystyle {}L[X]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endlichekommutative Gruppeund sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterung.Beweise für ${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}\prod _{d\in D}\chi (d)=\det \varphi _{\chi }\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\varphi _{\chi }}$ den zugehörigen ${\displaystyle {}K}$-Automorphismus von ${\displaystyle {}L}$ bezeichnet(siehe Lemma 12.15).

Betrachte die Menge ${\displaystyle {}\mu _{8}({\mathbb {C} })}$ der achtenEinheitswurzelnin ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Welche sind untereinander über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ konjugiert?

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endlichezyklische Gruppe derOrdnung ${\displaystyle {}n}$ mit der zugehörigenCharaktergruppe ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ mit Werten in einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),}$

nur die Werte${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-1}$annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-teprimitive Einheitswurzelenthält. Zeige, dass ${\displaystyle {}\psi }$ genau dann den Wert ${\displaystyle {}-1}$ annimmt, wenn ${\displaystyle {}n}$ gerade ist.

Es sei${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$einerationale Zahl,die in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ keine dritte Wurzel besitzt, so dass${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)}$eine Körpererweiterungvom Grad ${\displaystyle {}3}$ ist. Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-q}$ in ${\displaystyle {}L}$ genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoisschist.